Derive cada função abaixo (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
f(x)=ccx^3 sen(1 / x^4) & , x neq 0 0, & x=0

Passo 1

Temos a função definida por partes:
f(x)=x^3sinl(tfrac1x^4r),&xneq0,0,&x=0
Vamos derivar usando regra do produto e cadeia para xneq0, e depois usar definição de derivada em 0.

Passo 2

Para xneq0, defina u(x)=x^3 e v(x)=sin(1/x^4). Então
u'(x)=3x^2, v'(x)=cosl(1/x^4r)cdot(-4x^-5)
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 3

Substituindo u',u,v' em f'(x):
f'(x)=3x^2sinl(tfrac1x^4r)+x^3cdot(-4x^-5)cosl(tfrac1x^4r)
Isso simplifica para
f'(x)=3x^2sinl(tfrac1x^4r)-4x^2cosl(tfrac1x^4r),(xneq0)

Passo 4

Em x=0, use a definição
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h=limhto0h^3sin(1/h^4)h=limhto0h^2sin(1/h^4)
Como |h^2sin(1/h^4)|<= h^2to0, segue que f'(0)=0.

Passo 5

Portanto, a derivada f' existe para todo x, com a expressão encontrada para xneq0 e f'(0)=0.

Resposta

f'(x)=3x^2sinl(tfrac1x^4r)-4x^2cosl(tfrac1x^4r),&xneq0,0,&x=0

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