integral 2 x-2x^2-x-6 d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
integral 2x - 2x^2 - x - 6,dx
Estamos trabalhando com integração de funções racionais e vamos usar decomposição em frações parciais para resolver.

Passo 2

Observe que
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Então podemos escrever
2x - 2x^2 - x - 6 = Ax - 3 + Bx + 2

Passo 3

Para encontrar A e B igualamos numeradores:
2x - 2 = A(x + 2) + B(x - 3)
Expandindo e comparando coeficientes de x e termo constante, obtemos o sistema
A + B = 2, 2A - 3B = -2
Resolvendo, achamos
A = 45, B = 65

Passo 4

Substituindo na integral e integrando termo a termo,
integral 2x - 2x^2 - x - 6,dx = integral tfrac45x - 3,dx + integral tfrac65x + 2,dx = 45lnl|x - 3r| + 65lnl|x + 2r| + C

Resposta

45lnl|x - 3r| + 65lnl|x + 2r| + C

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