Calcule a área do círculo que é a solução de x^{2}+y^{2}-4 x+6 y+8 \leqslant 0.

Passo 1

O enunciado fornece a desigualdade que descreve uma região no plano:
x^{2}+y^{2}-4x+6y+8 \leqslant 0.
O que é pedido: calcular a área do círculo (ou disco) que é a solução dessa desigualdade.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares em x e y na expressão acima.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): transformar a expressão para a forma padrão de um círculo, que é
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}\le r^{2},
onde (h,k) é o centro e r é o raio. Para isso usaremos a técnica de completar o quadrado em x e em y.
Explicando completar o quadrado (mini-aula): para uma expressão do tipo \,x^{2}+bx, podemos reescrevê-la como
x^{2}+bx=\bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}.
Aqui a ideia é adicionar e subtrair \bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2} para transformar em um quadrado perfeito \bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}. O mesmo vale para y^{2}+cy.

Passo 3

Aplicando completar o quadrado ao termo em x. A parte em x na desigualdade é \,x^{2}-4x. Usando a fórmula acima com b=-4 temos
x^{2}-4x=\bigl(x-2\bigr)^{2}-2^{2}=\bigl(x-2\bigr)^{2}-4.

Passo 4

Agora ao termo em y. A parte em y é \,y^{2}+6y. Aqui c=6, então
y^{2}+6y=\bigl(y+3\bigr)^{2}-3^{2}=\bigl(y+3\bigr)^{2}-9.

Passo 5

Substituindo as duas reescritas na desigualdade original:
\bigl(x-2\bigr)^{2}-4+\bigl(y+3\bigr)^{2}-9+8 \leqslant 0.
Agora somamos as constantes -4-9+8 que dão -5, obtendo
\bigl(x-2\bigr)^{2}+\bigl(y+3\bigr)^{2}-5 \leqslant 0.
Isolando o termo quadrático,
\bigl(x-2\bigr)^{2}+\bigl(y+3\bigr)^{2} \leqslant 5.
Portanto a região é o disco de centro (2,-3) e raio r tal que
r^{2}=5,
ou seja
r=\sqrt{5}.

Passo 6

Cálculo da área. A fórmula da área de um círculo (ou disco) de raio r é
A=\pi r^{2},
onde \pi é a constante geométrica e r é o raio. Substituindo r^{2}=5 obtemos
A=\pi\cdot 5=5\pi.

Resposta

5\pi

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