Calcule a área do círculo que é a solução de
.
Passo 1
O enunciado fornece a desigualdade que descreve uma região no plano:
O que é pedido: calcular a área do círculo (ou disco) que é a solução dessa desigualdade.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares em e
na expressão acima.
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares em
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): transformar a expressão para a forma padrão de um círculo, que é
onde
é o centro e
é o raio. Para isso usaremos a técnica de completar o quadrado em
e em
.
Explicando completar o quadrado (mini-aula): para uma expressão do tipo
, podemos reescrevê-la como
Aqui a ideia é adicionar e subtrair
para transformar em um quadrado perfeito
. O mesmo vale para
.
Passo 3
Aplicando completar o quadrado ao termo em
. A parte em
na desigualdade é
. Usando a fórmula acima com
temos
Passo 4
Agora ao termo em
. A parte em
é
. Aqui
, então
Passo 5
Substituindo as duas reescritas na desigualdade original:
Agora somamos as constantes
que dão
, obtendo
Isolando o termo quadrático,
Portanto a região é o disco de centro
e raio
tal que
ou seja
Passo 6
Cálculo da área. A fórmula da área de um círculo (ou disco) de raio
é
onde
é a constante geométrica e
é o raio. Substituindo
obtemos