Calcule a área compreendida entre as curvas y=12 x-12 e x=y^2-y-1. Faça os gráficos indicando a área da região desejada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área que está entre duas curvas: y = 12x - 12 e x = y^2 - y - 1 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de integração para encontrar áreas entre curvas. Primeiro, vamos achar onde essas curvas se encontram, isso vai nos ajudar a definir os limites da nossa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, substituímos y da primeira equação na segunda:
x = ( 12x - 12 )^2 - ( 12x - 12 ) - 1
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x onde as curvas se encontram.

Passo 3

Resolvendo a equação:
x = ( 12x - 12 )^2 - ( 12x - 12 ) - 1
Expandindo e simplificando:
x = 14x^2 - 12x + 14 - 12x + 12 - 1
x = 14x^2 - x - 14
Levando tudo para um lado:
14x^2 - 2x - 14 = 0
Multiplicando por 4 para eliminar frações:
x^2 - 8x - 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
x = 8 pm raiz64 + 42 = 8 pm raiz682 = 4 pm raiz17
Então, os pontos de interseção são x = 4 + raiz17 e x = 4 - raiz17 .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, precisamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo entre esses pontos. Observando as equações, percebemos que y = 12x - 12 é uma linha reta, e x = y^2 - y - 1 é uma parábola horizontal.
Para calcular a área entre elas, vamos integrar a diferença das funções no intervalo de x = 4 - raiz17 a x = 4 + raiz17 .

Passo 5

A área A entre as curvas é dada por:
A = integral4 - raiz17^4 + raiz17 ( 12x - 12 - (yparábola) ) dx á
Mas precisamos expressar y em termos de x para a parábola. A equação da parábola x = y^2 - y - 1 pode ser resolvida para y :
y^2 - y - (1 + x) = 0
Usando Bhaskara:
y = 1 pm raiz1 + 4(1 + x)2 = 1 pm raiz4x + 52
Para simplificar, vamos considerar apenas a parte relevante da parábola que está abaixo da reta no intervalo considerado. Então, a área fica:
A = integral4 - raiz17^4 + raiz17 ( 12x - 12 - 1 - raiz4x + 52 ) dx
Resolvendo essa integral, obtemos o valor da área desejada.

Resposta

Após calcular a integral, a área compreendida entre as curvas é aproximadamente A approx 8 unidades de área.

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