Calcule a área compreendida entre as curvas
e
. Faça os gráficos indicando a área da região desejada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área que está entre duas curvas:
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de integração para encontrar áreas entre curvas. Primeiro, vamos achar onde essas curvas se encontram, isso vai nos ajudar a definir os limites da nossa área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, substituímos
da primeira equação na segunda:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se encontram.
Passo 3
Resolvendo a equação:
Expandindo e simplificando:
Levando tudo para um lado:
Multiplicando por 4 para eliminar frações:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, precisamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo entre esses pontos. Observando as equações, percebemos que
é uma linha reta, e
é uma parábola horizontal.
Para calcular a área entre elas, vamos integrar a diferença das funções no intervalo de
a
.
Passo 5
A área
entre as curvas é dada por:
Mas precisamos expressar
em termos de
para a parábola. A equação da parábola
pode ser resolvida para
:
Usando Bhaskara:
Para simplificar, vamos considerar apenas a parte relevante da parábola que está abaixo da reta no intervalo considerado. Então, a área fica:
Resolvendo essa integral, obtemos o valor da área desejada.
Resposta
Após calcular a integral, a área compreendida entre as curvas é aproximadamente
unidades de área.