Calcule a integral a seguir utilizando o método das frações parciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de uma função racional usando o método das frações parciais. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos usar frações parciais, que é uma técnica para decompor uma fração racional em uma soma de frações mais simples, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no grau do numerador e do denominador. O numerador é um polinômio de grau 3 e o denominador é de grau 2. Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.
Passo 3
Vamos dividir por .
Fazendo a divisão:
Dividimos por e obtemos .
Multiplicamos por e subtraímos do numerador:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos focar na fração que restou: .
Primeiro, precisamos fatorar o denominador . Encontramos dois números que multiplicados dão e somados dão , que são e . Assim:
Passo 5
Agora, aplicamos o método das frações parciais para decompor .
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :
Passo 6
Para encontrar e , vamos escolher valores de que simplificam a equação.