Calcule a integral a seguir utilizando o método das frações parciais:
integral0^1 2 x^3-4 x^2-x-3x^2-2 x-3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de uma função racional usando o método das frações parciais. O enunciado é:
integral0^1 2x^3-4x^2-x-3x^2-2x-3 , dx
Para resolver isso, vamos usar frações parciais, que é uma técnica para decompor uma fração racional em uma soma de frações mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no grau do numerador e do denominador. O numerador é um polinômio de grau 3 e o denominador é de grau 2. Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir 2x^3-4x^2-x-3 por x^2-2x-3.
Fazendo a divisão:
  1. Dividimos 2x^3 por x^2 e obtemos 2x.
  2. Multiplicamos 2x por x^2-2x-3 e subtraímos do numerador:
(2x^3-4x^2-x-3) - (2x cdot x^2-2x cdot 2x - 2x cdot (-3)) = 2x^3-4x^2-x-3 - (2x^3-4x^2-6x) = 5x -3
Então, temos:
2x^3-4x^2-x-3x^2-2x-3 = 2x + 5x -3x^2-2x-3

Passo 4

Agora, vamos focar na fração que restou: 5x -3x^2-2x-3.
Primeiro, precisamos fatorar o denominador x^2-2x-3. Encontramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão -2, que são -3 e 1. Assim:
x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)

Passo 5

Agora, aplicamos o método das frações parciais para decompor 5x -3(x-3)(x+1).
Assumimos que:
5x -3(x-3)(x+1) = Ax-3 + Bx+1
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+1):
5x -3 = A(x+1) + B(x-3)

Passo 6

Para encontrar A e B, vamos escolher valores de x que simplificam a equação.
  1. Se x = 3:
5(3) -3 = A(3+1) + B(3-3) Rightarrow 15 -3 = 4A Rightarrow A = 3
  1. Se x = -1:
5(-1) -3 = A(-1+1) + B(-1-3) Rightarrow -5 -3 = -4B Rightarrow B = 2

Passo 7

Agora sabemos que:
5x -3(x-3)(x+1) = 3x-3 + 2x+1
Então, a função original fica:
2x + 3x-3 + 2x+1

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^1 ( 2x + 3x-3 + 2x+1 ) , dx = integral0^1 2x , dx + integral0^1 3x-3 , dx + integral0^1 2x+1 , dx

Passo 9

Calculando cada integral:
  1. integral 2x , dx = x^2 + C
  2. integral 3x-3 , dx = 3 ln|x-3| + C
  3. integral 2x+1 , dx = 2 ln|x+1| + C

Passo 10

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
  1. x^2 |0^1 = 1^2 - 0^2 = 1
  2. 3 ln|x-3| |0^1 = 3 ln|1-3| - 3 ln|0-3| = 3 ln(2) - 3 ln(3)
  3. 2 ln|x+1| |0^1 = 2 ln(2) - 2 ln(1) = 2 ln(2) (já que ln(1) = 0)

Passo 11

Somando todos os resultados:
1 + 3 ln(23) + 2 ln(2) = 1 + 3 ln(2) - 3 ln(3) + 2 ln(2) = 1 + 5 ln(2) - 3 ln(3)

Resposta

O valor da integral é 1 + 5 ln(2) - 3 ln(3).

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