Calcule a área da região compreendida entre as curvas
.
Passo 1
O problema pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver, especificamente a integração entre curvas. Precisaremos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de integração e então calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde as curvas se intersectam. Vamos igualar
e
:
Resolver essa equação nos dará os pontos de interseção entre as duas curvas.
Passo 3
Vamos resolver a equação
. Para facilitar, rearranjamos a equação:
Essa equação pode não ser resolvida algebricamente, então podemos usar métodos numéricos ou observar que, por tentativa,
é uma solução:
Como
não é igual a 1, precisamos revisar. Observando
:
Também não é válido. Portanto, usaremos métodos gráficos ou numéricos para encontrar a interseção aproximada.
Passo 4
Após análise gráfica, identificamos que as curvas se intersectam no ponto
e em outro ponto que podemos aproximar numericamente, digamos
. Esses serão nossos limites de integração.
Passo 5
Agora, para calcular a área entre as curvas, usaremos a fórmula:
Onde
é a função de cima e
é a função de baixo no intervalo
.
Passo 6
Identificamos que entre
e
, a curva
está acima da reta
. Portanto, a área é:
Passo 7
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Calculamos em
:
E em
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região compreendida entre as curvas é
unidades quadradas.