Resolva a integra a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções que são produtos de exponenciais e funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
para ser uma função que fica mais simples ao derivar, e
para ser algo que é fácil de integrar.
Passo 3
Vamos fazer as seguintes escolhas:
Aqui, derivamos
para obter
e integramos
para obter
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Agora, temos uma nova integral:
. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral. Desta vez, escolhemos:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes à nova integral:
Substituindo
,
e
:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Simplificando:
Passo 8
Vamos chamar a integral original de
:
Substituindo na equação:
Agora, somando
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.