Resolva a integra a seguir:
integral 2 e^x sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 2 e^x sin(x) dx. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções que são produtos de exponenciais e funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv. Geralmente, escolhemos u para ser uma função que fica mais simples ao derivar, e dv para ser algo que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos fazer as seguintes escolhas:
u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) dx
dv = 2 e^x dx Rightarrow v = 2 e^x
Aqui, derivamos u para obter du e integramos dv para obter v.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral 2 e^x sin(x) dx = u , v - integral v , du
Substituindo u, v e du:
= sin(x) cdot 2 e^x - integral 2 e^x cos(x) dx
= 2 e^x sin(x) - 2 integral e^x cos(x) dx

Passo 5

Agora, temos uma nova integral: integral e^x cos(x) dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral. Desta vez, escolhemos:
u = cos(x) Rightarrow du = -sin(x) dx
dv = e^x dx Rightarrow v = e^x

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes à nova integral:
integral e^x cos(x) dx = u , v - integral v , du
Substituindo u, v e du:
= cos(x) cdot e^x - integral e^x (-sin(x)) dx
= e^x cos(x) + integral e^x sin(x) dx

Passo 7

Voltando à equação anterior:
integral 2 e^x sin(x) dx = 2 e^x sin(x) - 2 ( e^x cos(x) + integral e^x sin(x) dx )
Simplificando:
integral 2 e^x sin(x) dx = 2 e^x sin(x) - 2 e^x cos(x) - 2 integral e^x sin(x) dx

Passo 8

Vamos chamar a integral original de I:
I = integral 2 e^x sin(x) dx
Substituindo na equação:
I = 2 e^x sin(x) - 2 e^x cos(x) - I
Agora, somando I dos dois lados:
2I = 2 e^x sin(x) - 2 e^x cos(x)
Dividindo ambos os lados por 2:
I = e^x sin(x) - e^x cos(x)

Resposta

A integral integral 2 e^x sin(x) dx é igual a:
e^x sin(x) - e^x cos(x) + C
onde C é a constante de integração.

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