Resolva a integral a seguir utilizando substituição trigonométrica:
integral x^2raiz16-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para resolver a integral
integral x^2raiz16-x^2 , dx
Usaremos a substituição trigonométrica, que é uma técnica ótima para integrais que envolvem expressões como raiza^2 - x^2 . Vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas básicas e como elas podem simplificar integrais complicadas. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa na substituição trigonométrica. Observamos que temos raiz16 - x^2 , que se parece com raiza^2 - x^2 . Aqui, a = 4 porque 16 = 4^2 .
A substituição trigonométrica para raiza^2 - x^2 é:
x = a sin theta
Então, vamos definir:
x = 4 sin theta

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx em termos de dtheta . Derivando x = 4 sin theta , temos:
dx = 4 cos theta , dtheta
Também substituímos raiz16 - x^2 :
raiz16 - x^2 = raiz16 - 16 sin^2 theta = raiz16(1 - sin^2 theta) = 4 cos theta

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral x^2raiz16 - x^2 , dx = integral (4 sin theta)^24 cos theta cdot 4 cos theta , dtheta
Simplificando:
= integral 16 sin^2 theta4 cos theta cdot 4 cos theta , dtheta = integral 16 sin^2 theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos integrar 16 sin^2 theta . Lembramos que podemos usar a identidade trigonométrica:
sin^2 theta = 1 - cos 2theta2
Então,
integral 16 sin^2 theta , dtheta = 16 integral 1 - cos 2theta2 , dtheta = 8 integral (1 - cos 2theta) , dtheta

Passo 6

Integrando termo a termo:
8 integral 1 , dtheta - 8 integral cos 2theta , dtheta = 8theta - 4 sin 2theta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x . Lembrando que fizemos a substituição x = 4 sin theta , então:
sin theta = x4 theta = arcsin(x4)
Também, usando a identidade sin 2theta = 2 sin theta cos theta , e sabemos que cos theta = raiz1 - sin^2 theta = raiz1 - (x4)^2 = raiz16 - x^24 .
Então,
sin 2theta = 2 cdot x4 cdot raiz16 - x^24 = x raiz16 - x^28

Passo 8

Substituindo de volta na expressão integrada:
8theta - 4 sin 2theta + C = 8 arcsin(x4) - 4 cdot x raiz16 - x^28 + C
Simplificando:
= 8 arcsin(x4) - x raiz16 - x^22 + C

Resposta

A integral é igual a
8 arcsin(x4) - x raiz16 - x^22 + C
onde C é a constante de integração.

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