Resolva a integral a seguir utilizando substituição trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para resolver a integral
Usaremos a substituição trigonométrica, que é uma técnica ótima para integrais que envolvem expressões como
. Vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas básicas e como elas podem simplificar integrais complicadas. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa na substituição trigonométrica. Observamos que temos
, que se parece com
. Aqui,
porque
.
A substituição trigonométrica para
é:
Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando
, temos:
Também substituímos
:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Lembramos que podemos usar a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 6
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Também, usando a identidade
, e sabemos que
.
Então,
Passo 8
Substituindo de volta na expressão integrada:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a
onde
é a constante de integração.