Calcule a área do conjunto dado.
A é o conjunto do plano limitado pela reta
e pelos gráficos de
.
A é o conjunto do plano limitado pela reta
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = e^{−x} e y = e^{−2x}, pela reta x = 1 e restrita a x ≥ 0. Vamos usar o conceito de área entre duas curvas, que se resolve com integral definida da diferença entre as funções.
Passo 2
Para aplicar a fórmula, identificamos qual função está acima em x ≥ 0. Como e^{−x} ≥ e^{−2x}, temos f(x)=e^{−x} (superior) e g(x)=e^{−2x} (inferior). As duas curvas se encontram em x=0 (ambas valem 1) e, junto com a reta x=1, definem os limites de integração de 0 a 1.
Passo 3
A área A é dada por
Passo 4
Calculando as antiderivadas, temos
Logo,
Passo 5
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo de 0 a 1, obtemos
Resposta
(A = \frac12 - \frac1e + \frac1{2e^2})