Calcule a área do conjunto dado.
A é o conjunto do plano limitado pela reta x=1 e pelos gráficos de y=e^-2 x e y=e^-x. com x >= 0

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = e^{−x} e y = e^{−2x}, pela reta x = 1 e restrita a x ≥ 0. Vamos usar o conceito de área entre duas curvas, que se resolve com integral definida da diferença entre as funções.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, identificamos qual função está acima em x ≥ 0. Como e^{−x} ≥ e^{−2x}, temos f(x)=e^{−x} (superior) e g(x)=e^{−2x} (inferior). As duas curvas se encontram em x=0 (ambas valem 1) e, junto com a reta x=1, definem os limites de integração de 0 a 1.

Passo 3

A área A é dada por
A = integral0^1 l(f(x) - g(x)r),dx = integral0^1 l(e^-x - e^-2xr),dx

Passo 4

Calculando as antiderivadas, temos
integral e^-x,dx = -e^-x,
integral e^-2x,dx = -tfrac12 e^-2x
Logo,
integral l(e^-x - e^-2xr),dx = -e^-x + tfrac12 e^-2x + C

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo de 0 a 1, obtemos
A = l[-e^-x + tfrac12 e^-2xr]0^1 = l(-e^-1 + tfrac12 e^-2r) - l(-1 + tfrac12r) = tfrac12 - tfrac1e + tfrac12e^2

Resposta

(A = \frac12 - \frac1e + \frac1{2e^2})

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