Faça um esboço do gráfico de
determinando primeiro: os extremos relativos de
os pontos de inflexão do gráfico de
; os intervalos nos quais
é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
determinando os extremos relativos, os pontos de inflexão, os intervalos de crescimento e decrescimento, as regiões de concavidade e as inclinações das retas tangentes nos pontos de inflexão. Essa é uma análise típica de curvas usando derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Aplique a regra do quociente para obter
. Seja
então
Fatorando
no numerador:
Os zeros de
ocorrem em
e
. Como
sempre, o sinal de
segue o de
, ou seja:
-
em , então é crescente aí. -
em , então é decrescente nesse intervalo.
Passo 3
Da mudança de sinal de
em cada ponto crítico classificamos:
- Em
, troca de positivo para negativo ponto de máximo relativo. - Em
, troca de negativo para positivo ponto de mínimo relativo.
Calculando os valores:
Passo 4
Para concavidade, calcule
. Derivando
e simplificando, obtém-se
Os pontos de inflexão satisfazem
, ou seja,
e
. Analisando o sinal de
:
-
(côncavo para cima) em . -
(côncavo para baixo) em .
Passo 5
Nas abscissas dos inflexão calculamos as inclinações
:
Passo 6
Mais alguns detalhes para o esboço:
- Como
-numerador -denominador , há assíntota horizontal quando . - Interceptos:
(intercepto em ) e raiz única em . - Pontos notáveis para marcar no gráfico:
Máximo relativo em .
Mínimo relativo em .
Pontos de inflexão em
,
e
,
com inclinações, e respectivamente.
Juntando tudo, trace a curva passando por esses pontos, respeitando monotonicidade, concavidades e a assíntota.
Resposta
Extremos relativos:
Máximo em
.
Mínimo em
.
Monotonicidade:
crescente em
.
decrescente em
.
Pontes de inflexão e concavidade:
Inflexões em
,
,
.
Côncavo para cima em
.
Côncavo para baixo em
.
Inclinações das tangentes nos inflexões:
Em
,
.
Em
,
.
Assíntota horizontal:
.
Interceptos:
.
Raiz em
.