Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro: os extremos relativos de f ; os pontos de inflexão do gráfico de f; os intervalos nos quais f é crescente e decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo e é útil determinar a inclinação da reta tangente nos pontos de inflexão .
f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{\,x^{2}+1\,},
determinando os extremos relativos, os pontos de inflexão, os intervalos de crescimento e decrescimento, as regiões de concavidade e as inclinações das retas tangentes nos pontos de inflexão. Essa é uma análise típica de curvas usando derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Aplique a regra do quociente para obter f'(x). Seja
N(x)=(x-1)^2,\quad D(x)=x^2+1,
então
f'(x)=\frac{N'(x)\,D(x)-N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^2} =\frac{2(x-1)(x^2+1)-2x\,(x-1)^2}{(x^2+1)^2}.
Fatorando 2(x-1) no numerador:
f'(x) =\frac{2(x-1)\bigl[(x^2+1)-x(x-1)\bigr]}{(x^2+1)^2} =\frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}.
Os zeros de f' ocorrem em x=-1 e x=1. Como (x^2+1)^2>0 sempre, o sinal de f' segue o de (x-1)(x+1), ou seja:
  • f'(x)>0 em (-\infty,-1)\cup(1,\infty), então f é crescente aí.
  • f'(x)<0 em (-1,1), então f é decrescente nesse intervalo.

Passo 3

Da mudança de sinal de f' em cada ponto crítico classificamos:
  • Em x=-1, f' troca de positivo para negativo \Rightarrow ponto de máximo relativo.
  • Em x=1, f' troca de negativo para positivo \Rightarrow ponto de mínimo relativo.
    Calculando os valores:
f(-1)=\frac{(-1-1)^2}{(-1)^2+1}=\frac{4}{2}=2,\quad f(1)=0.

Passo 4

Para concavidade, calcule f''(x). Derivando f'(x)=2(x-1)(x+1)/(x^2+1)^2 e simplificando, obtém-se
f''(x) =\frac{4x\,(3-x^2)}{(x^2+1)^3}.
Os pontos de inflexão satisfazem f''(x)=0, ou seja, x=0 e x=\pm\sqrt{3}. Analisando o sinal de f'':
  • f''(x)>0 (côncavo para cima) em (-\infty,-\sqrt3)\cup(0,\sqrt3).
  • f''(x)<0 (côncavo para baixo) em (-\sqrt3,0)\cup(\sqrt3,\infty).

Passo 5

Nas abscissas dos inflexão calculamos as inclinações f':
f'(\pm\sqrt3) =\frac{2\bigl((\pm\sqrt3)^2-1\bigr)}{(3+1)^2} =\frac{2(3-1)}{16}=\frac14, \quad f'(0)=\frac{2(0-1)(0+1)}{1^2}=-2.

Passo 6

Mais alguns detalhes para o esboço:
  • Como \deg-numerador = \deg-denominador =2, há assíntota horizontal y=1 quando x\to\pm\infty.
  • Interceptos: f(0)=1 (intercepto em y) e raiz única em x=1.
  • Pontos notáveis para marcar no gráfico:
    \bullet Máximo relativo em (-1,2).
    \bullet Mínimo relativo em (1,0).
    \bullet Pontos de inflexão em
    \bigl(-\sqrt3,\;f(-\sqrt3)\bigr)=\bigl(-\sqrt3,\;1+\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr),
    \bigl(0,1\bigr) e
    \bigl(\sqrt3,\;1-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr),
    com inclinações +\tfrac14, -2 e +\tfrac14 respectivamente.
    Juntando tudo, trace a curva passando por esses pontos, respeitando monotonicidade, concavidades e a assíntota y=1.

Resposta

Extremos relativos:
\bullet Máximo em (-1,2).
\bullet Mínimo em (1,0).
Monotonicidade:
\bullet f crescente em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
\bullet f decrescente em (-1,1).
Pontes de inflexão e concavidade:
\bullet Inflexões em
\bigl(-\sqrt3,1+\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr), (0,1), \bigl(\sqrt3,1-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).
\bullet Côncavo para cima em (-\infty,-\sqrt3)\cup(0,\sqrt3).
\bullet Côncavo para baixo em (-\sqrt3,0)\cup(\sqrt3,\infty).
Inclinações das tangentes nos inflexões:
\bullet Em x=\pm\sqrt3, f'=\tfrac14.
\bullet Em x=0, f'=-2.
Assíntota horizontal:
y=1.
Interceptos:
\bullet f(0)=1.
\bullet Raiz em x=1.

Exercícios relacionados