Calcule a área delimitada pela curva dada e o eixo x (se necessário, desenhe o gráfico da curva no computador).
x=raizt, y=2t-t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área limitada pela curva definida por x = raizt e y = 2t - t^2 e o eixo x . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração de curvas parametrizadas. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. Aqui, t é o parâmetro que relaciona x e y . Temos:
x = raizt
y = 2t - t^2
Isso significa que, para cada valor de t , temos um ponto (x, y) na curva.

Passo 3

Vamos determinar os valores de t que fazem a curva interceptar o eixo x . No eixo x , y = 0 . Então, igualamos y a zero:
2t - t^2 = 0
Resolvendo essa equação:
t(2 - t) = 0 implies t = 0 ou t = 2
Portanto, os pontos de interseção são para t = 0 e t = 2 .

Passo 4

Agora, precisamos expressar a área sob a curva em termos de t . Para curvas parametrizadas, a área A pode ser calculada usando a fórmula:
A = integrala^b y cdot dxdt , dt
onde a e b são os valores de t que determinam os limites de integração.

Passo 5

Vamos encontrar dxdt . Sabemos que:
x = raizt = t^1/2 implies dxdt = 12 t^-1/2 = 12raizt
Então, a fórmula da área fica:
A = integral0^2 (2t - t^2) cdot 12raizt , dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(2t - t^2) cdot 12raizt = 2t2raizt - t^22raizt = traizt - t^22raizt = t^1 - 1/2 - t^2 - 1/22 = t^1/2 - t^3/22
Então, a integral fica:
A = integral0^2 ( t^1/2 - t^3/22 ) dt

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral t^1/2 , dt = t^3/23/2 = 23 t^3/2
integral t^3/22 , dt = 12 cdot t^5/25/2 = 12 cdot 25 t^5/2 = 15 t^5/2
Portanto, a integral total é:
A = [ 23 t^3/2 - 15 t^5/2 ]0^2

Passo 8

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração t = 2 e t = 0 :
Para t = 2 :
23 (2)^3/2 - 15 (2)^5/2 = 23 cdot 2raiz2 - 15 cdot 4raiz2 = 4raiz23 - 4raiz25
Para t = 0 :
23 (0)^3/2 - 15 (0)^5/2 = 0 - 0 = 0
Então, a área é:
A = ( 4raiz23 - 4raiz25 ) - 0 = 4raiz23 - 4raiz25

Passo 9

Vamos simplificar a expressão:
A = 4raiz2 ( 13 - 15 ) = 4raiz2 ( 5 - 315 ) = 4raiz2 cdot 215 = 8raiz215

Resposta

A área delimitada pela curva x = raizt , y = 2t - t^2 e o eixo x é 8raiz215 unidades de área.

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