Calcule a área delimitada pela curva dada e o eixo
(se necessário, desenhe o gráfico da curva no computador).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área limitada pela curva definida por
e
e o eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração de curvas parametrizadas. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva. Aqui,
é o parâmetro que relaciona
e
. Temos:
Isso significa que, para cada valor de
, temos um ponto
na curva.
Passo 3
Vamos determinar os valores de
que fazem a curva interceptar o eixo
. No eixo
,
. Então, igualamos
a zero:
Resolvendo essa equação:
Portanto, os pontos de interseção são para
e
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar a área sob a curva em termos de
. Para curvas parametrizadas, a área
pode ser calculada usando a fórmula:
onde
e
são os valores de
que determinam os limites de integração.
Passo 5
Vamos encontrar
. Sabemos que:
Então, a fórmula da área fica:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral total é:
Passo 8
Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração
e
:
Para :
Para
Para
:
Então, a área é:
Passo 9
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A área delimitada pela curva
,
e o eixo
é
unidades de área.