Encontre a equação reduzida (no formato y=mx+b ) da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor dado de t.
x=t cos t, y=t sen t, t=pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação reduzida da reta tangente à curva no ponto onde t = pi . A equação reduzida é no formato y = mx + b . Para isso, vamos precisar trabalhar com parametrizações de curvas e derivadas para achar a inclinação da tangente. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas do ponto na curva quando t = pi . As equações paramétricas são:
x = t cos t
y = t sin t
Substituindo t = pi :
x = pi cos pi = pi times (-1) = -pi
y = pi sin pi = pi times 0 = 0
Então, o ponto de tangência é (-pi, 0) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente, ou seja, a derivada dydx no ponto t = pi . Sabemos que:
dydx = dydtdxdt
Vamos calcular dxdt e dydt .

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = ddt (t cos t) = cos t - t sin t
dydt = ddt (t sin t) = sin t + t cos t
Substituindo t = pi :
dxdtg|t=pi = cos pi - pi sin pi = -1 - pi times 0 = -1
dydtg|t=pi = sin pi + pi cos pi = 0 + pi times (-1) = -pi

Passo 5

Agora, calculamos dydx em t = pi :
dydx = -pi-1 = pi
Então, a inclinação m da reta tangente é pi .

Passo 6

Com a inclinação m = pi e passando pelo ponto (-pi, 0) , podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo:
y - 0 = pi (x - (-pi))
y = pi x + pi^2

Resposta

A equação reduzida da reta tangente é:
y = pi x + pi^2

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