Encontre a equação reduzida (no formato ) da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor dado de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a equação reduzida da reta tangente à curva no ponto onde . A equação reduzida é no formato . Para isso, vamos precisar trabalhar com parametrizações de curvas e derivadas para achar a inclinação da tangente. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas do ponto na curva quando . As equações paramétricas são:
Substituindo :
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente, ou seja, a derivada no ponto . Sabemos que:
Vamos calcular e .
Passo 4
Calculando as derivadas:
Substituindo :
dydtg|t=pi = sin pi + pi cos pi = 0 + pi times (-1) = -pi
Passo 5
Agora, calculamos dydx em t = pi :
dydx = -pi-1 = pi
Então, a inclinação m da reta tangente é pi .
Passo 6
Com a inclinação m = pi e passando pelo ponto (-pi, 0) , podemos usar a fórmula da equação da reta: