Verifique se as funções abaixo são contínuas ou não.
f(x, y)=lll 2 x yx^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 2xyx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,& (x,y)=(0,0),
e pede para verificar onde ela é contínua. O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis: precisamos checar a continuidade nos pontos (x,y)neq(0,0) e em (0,0).]

Passo 2

Para qualquer ponto (x0,y0)neq(0,0) temos x0^2+y0^2neq0, então em torno de (x0,y0) a função é quociente de polinômios com denominador não nulo. Logo, por ser razão de funções contínuas, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0. Para isso, escolhemos aproximar por retas y=kx, com kinR. Substituindo em 2xyx^2+y^2:
f(x,kx) =2x,(kx)x^2+(kx)^2 =2k,x^2x^2(1+k^2) =2k1+k^2
Essa expressão não depende de x, apenas de k. Para k=0 0, para k=1 1, para k=2 tfrac45 etc. Como o valor muda conforme a reta, o limite não é único.

Passo 4

Como não há um único valor para
lim(x,y)to(0,0)f(x,y), esse limite não existe e, portanto, f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e é descontínua em (0,0).

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