e pede para verificar onde ela é contínua. O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis: precisamos checar a continuidade nos pontos (x,y)neq(0,0) e em (0,0).]
Passo 2
Para qualquer ponto (x0,y0)neq(0,0) temos x0^2+y0^2neq0, então em torno de (x0,y0) a função é quociente de polinômios com denominador não nulo. Logo, por ser razão de funções contínuas, f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
No ponto (0,0) precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0. Para isso, escolhemos aproximar por retas y=kx, com kinR. Substituindo em 2xyx^2+y^2:
Essa expressão não depende de x, apenas de k. Para k=0 dá 0, para k=1 dá 1, para k=2 dá tfrac45 etc. Como o valor muda conforme a reta, o limite não é único.
Passo 4
Como não há um único valor para lim(x,y)to(0,0)f(x,y), esse limite não existe e, portanto, f não é contínua em (0,0).
Resposta
A função f é contínua em todos os pontos (x,y)neq(0,0) e é descontínua em (0,0).