Trace a curva x=t^2, y=t^3-3t,-2 <= t <= 2 usando um computador e detemine a área dentro do laço formado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para a gente traçar a curva definida pelas equações paramétricas x = t^2 e y = t^3 - 3t, onde t varia de -2 a 2. Depois disso, precisamos determinar a área dentro do laço que essa curva forma. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de curvas paramétricas e cálculo integral para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essa curva se comporta quando variamos o parâmetro t de -2 a 2. Vamos calcular alguns pontos para ter uma ideia de como a curva se desenha:
  • Para t = -2:
x = (-2)^2 = 4, y = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2
  • Para t = -1:
x = (-1)^2 = 1, y = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2
  • Para t = 0:
x = 0^2 = 0, y = 0^3 - 3(0) = 0
  • Para t = 1:
x = 1^2 = 1, y = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2
  • Para t = 2:
x = 2^2 = 4, y = 2^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2
Plotando esses pontos, percebemos que a curva forma um laço, ou seja, ela se dobra sobre si mesma, criando uma região fechada.

Passo 3

Para encontrar a área dentro desse laço, vamos usar uma fórmula da integral definida para curvas paramétricas. A fórmula geral para a área A de uma curva parametrizada por x(t) e y(t) é:
A = integrala^b y(t) cdot x'(t) , dt
Onde x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t.

Passo 4

Vamos calcular x'(t):
x(t) = t^2 implies x'(t) = 2t
Agora, substituindo na fórmula da área:
A = integral-2^2 (t^3 - 3t) cdot 2t , dt = integral-2^2 (2t^4 - 6t^2) , dt

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
integral (2t^4 - 6t^2) , dt = 2 cdot t^55 - 6 cdot t^33 + C = 25 t^5 - 2 t^3 + C
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de -2 a 2:
A = [ 25 (2)^5 - 2 (2)^3 ] - [ 25 (-2)^5 - 2 (-2)^3 ]
Calculando cada parte:
Para t = 2:
25 (32) - 2 (8) = 645 - 16 = 645 - 805 = -165
Para t = -2:
25 (-32) - 2 (-8) = -645 + 16 = -645 + 805 = 165
Então:
A = ( -165 ) - ( 165 ) = -325
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
A = 325

Resposta

A área dentro do laço formado pela curva é 325 unidades de área.

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