Trace a curva
usando um computador e detemine a área dentro do laço formado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para a gente traçar a curva definida pelas equações paramétricas
e
, onde
varia de -2 a 2. Depois disso, precisamos determinar a área dentro do laço que essa curva forma. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de curvas paramétricas e cálculo integral para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essa curva se comporta quando variamos o parâmetro
de -2 a 2. Vamos calcular alguns pontos para ter uma ideia de como a curva se desenha:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Plotando esses pontos, percebemos que a curva forma um laço, ou seja, ela se dobra sobre si mesma, criando uma região fechada.
Passo 3
Para encontrar a área dentro desse laço, vamos usar uma fórmula da integral definida para curvas paramétricas. A fórmula geral para a área
de uma curva parametrizada por
e
é:
Onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de -2 a 2:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Então:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área dentro do laço formado pela curva é
unidades de área.