Encontre a superfície de nível para o valor dado de c para cada função de três variáveis e desenhe a superfície (pode usar recurso computacional).
f(x, y, z)=x^2+y^2-z^2 para c=4

Passo 1

O enunciado pede a superfície de nível da função
f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2
para c=4, ou seja, o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
x^2+y^2-z^2=4
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas e esboço geométrico.

Passo 2

Escrevendo a equação em forma canônica, dividimos ambos os lados por 4:
x^24+y^24-z^24=1
Essa é a forma padrão de um hiperbóide de uma folha, simétrico em torno do eixo z.

Passo 3

Para entender a forma da superfície, note que, para cada valor de z, o corte horizontal é
x^2+y^2=4+z^2,
que é um círculo de raio raiz4+z^2. À medida que |z| cresce, o raio aumenta, caracterizando um hiperbóide de uma folha.

Passo 4

Uma parametrização conveniente usa parâmetros uinR e vin[0,2pi):
z = 2,u, x = 2,raiz1+u^2;cos v, y = 2,raiz1+u^2;sin v
Isso satisfaz
x^2+y^2-z^2 =4l(1+u^2r)-4,u^2=4

Passo 5

Para desenhar no Python, por exemplo, podemos usar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot\(3\)d import Axes\(3\)D

u \(=\) np.linspace(-\(2,2\),\(100\))
v \(=\) np.linspace(\(0,2\)*np.pi,\(100\))
u, v \(=\) np.meshgrid(u, v)
x \(=2\)*np.sqrt(\(1+\)u**\(2\))*np.cos(v)
y \(=2\)*np.sqrt(\(1+\)u**\(2\))*np.sin(v)
z \(=2\)*u

fig \(=\) plt.figure()
ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\), projection\(=\)'\(3\)d')
ax.\(plot_surface\)(x, y, z, cmap\(=\)'viridis', edgecolor\(=\)'none')
ax.\(set_xlabel\)('x'); ax.\(set_ylabel\)('y'); ax.\(set_zlabel\)('z')
plt.show()

Resposta

A superfície de nível f(x,y,z)=4 é o hiperbóide de uma folha definido por
x^2+y^2-z^2=4

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