Encontre a superfície de nível para o valor dado de c para cada função de três variáveis e desenhe a superfície (pode usar recurso computacional). para
Passo 1
O enunciado pede a superfície de nível da função
para , ou seja, o conjunto de pontos tais que
O conteúdo aqui é classificação de superfícies quádricas e esboço geométrico.
Passo 2
Escrevendo a equação em forma canônica, dividimos ambos os lados por :
Essa é a forma padrão de um hiperbóide de uma folha, simétrico em torno do eixo .
Passo 3
Para entender a forma da superfície, note que, para cada valor de , o corte horizontal é
que é um círculo de raio . À medida que cresce, o raio aumenta, caracterizando um hiperbóide de uma folha.
Passo 4
Uma parametrização conveniente usa parâmetros e :
Isso satisfaz
x^2+y^2-z^2 =4l(1+u^2r)-4,u^2=4
Passo 5
Para desenhar no Python, por exemplo, podemos usar:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from \(mpl_toolkits\).mplot\(3\)d import Axes\(3\)D
u \(=\) np.linspace(-\(2,2\),\(100\))
v \(=\) np.linspace(\(0,2\)*np.pi,\(100\))
u, v \(=\) np.meshgrid(u, v)
x \(=2\)*np.sqrt(\(1+\)u**\(2\))*np.cos(v)
y \(=2\)*np.sqrt(\(1+\)u**\(2\))*np.sin(v)
z \(=2\)*u
fig \(=\) plt.figure()
ax \(=\) fig.\(add_subplot\)(\(111\), projection\(=\)'\(3\)d')
ax.\(plot_surface\)(x, y, z, cmap\(=\)'viridis', edgecolor\(=\)'none')
ax.\(set_xlabel\)('x'); ax.\(set_ylabel\)('y'); ax.\(set_zlabel\)('z')
plt.show()
Resposta
A superfície de nível f(x,y,z)=4 é o hiperbóide de uma folha definido por