Calcule a área delimitada entre as curvas y1(x)=x^2 e y2(x)=raizx.

Passo 1

O enunciado pede a área delimitada pelas curvas y1(x)=x^2 e y2(x)=raizx. Este é um problema de cálculo de área entre duas curvas, que vamos resolver encontrando primeiro onde elas se intersectam e depois integrando a diferença entre a função superior e a inferior nesse intervalo.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
x^2 = raizx
Escrevendo raizx=x^1/2 e agrupando termos:
x^2 - x^1/2 = 0 Longrightarrow x^1/2l(x^3/2-1r)=0
Logo as soluções são x^1/2=0Rightarrow x=0 e x^3/2=1Rightarrow x=1. Assim, os pontos de interseção são x=0 e x=1.

Passo 3

Para determinar qual curva está acima em [0,1], avaliamos em um ponto interno, por exemplo x=tfrac14:
raiztfrac14=tfrac12 e l(tfrac14r)^2=tfrac116,
logo raizx>= x^2 em todo [0,1]. Portanto, y2(x)=raizx é a função superior e y1(x)=x^2 a inferior.

Passo 4

A área A entre as curvas de x=0 a x=1 é
A = integral0^1l(raizx-x^2r),dx

Passo 5

Calculamos cada integral separadamente:
integral x^1/2,dx = 23x^3/2, integral x^2,dx = 13x^3
Então
A = [23x^3/2 - 13x^3]0^1 = l(tfrac23-tfrac13r) - 0 = 13

Resposta

13

Exercícios relacionados