Calcule as seguintes integrais indefinidas e mostre que o resultado está correto
integral x e^(2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral x e^(2x+1),dx
O conteúdo aqui é cálculo de integrais usando a técnica de integração por partes, pois aparece produto de um polinômio x com exponencial e^2x+1.

Passo 2

Repare que
e^2x+1=ecdot e^2x,
ou seja, podemos tirar o e como constante:
integral x e^(2x+1),dx = eintegral x e^2x,dx

Passo 3

Para calcular integral x e^2x,dx, aplicamos integração por partes, escolhendo
u = x, dv = e^2x,dx
logo
du = dx, v = integral e^2x,dx = e^2x2
Pela fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, temos
integral x e^2x,dx = xe^2x2 - integral e^2x2,dx

Passo 4

Agora calculamos
integral e^2x2,dx = 12integral e^2x,dx = 12cdote^2x2 = e^2x4
Logo
integral x e^2x,dx = x e^2x2 - e^2x4 + C1

Passo 5

Voltando à integral original, multiplicamos por e:
integral x e^(2x+1),dx = el(x e^2x2-e^2x4r)+C = x e^2x+12 - e^2x+14 + C
Fatorando e^2x+1/4, obtemos a forma mais enxuta:
integral x e^(2x+1),dx = e^2x+14(2x-1) + C

Passo 6

Para verificar, defina
F(x)=e^2x+14(2x-1)
Derivando,
F'(x) =14l[(2x-1)cdot2e^2x+1+e^2x+1cdot2r] =e^2x+1(4x-2+2)4 = x e^2x+1,
confirmando que F'(x) é a função integranda.

Resposta

integral x e^(2x+1),dx = e^2x+14(2x - 1) + C

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