Calcule as seguintes integrais indefinidas e mostre que o resultado está correto
integral ln (4 x)x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral ln(4x)x,dx
que envolve uma função logarítmica dividida por x. Vamos usar uma substituição simples e depois verificar o resultado por diferenciação.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = ln(4x), du = 1x,dx
Com isso, o elemento dx e o fator 1/x se combinam e a integral original vira
integral ln(4x)x,dx = integral u,du

Passo 3

Integrando em u, obtemos
integral u,du = u^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = ln(4x) e achamos
u^22 + C = l(ln(4x)r)^22 + C

Passo 5

Para conferir, derivamos
ddx!l(tfrac(ln(4x))^22r) = (ln(4x))cdotddx[ln(4x)] = (ln(4x))cdot1x = ln(4x)x,
que é exatamente o integrando original.

Resposta

integral ln(4x)x,dx = l(ln(4x)r)^22 + C

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