Sejam e subconjuntos infinitos e disjuntos tais que . Seja ( ) uma sequência cujas restrições a e a convergem para o mesmo limite . Prove que ( ) converge para .
Passo 1
Resumindo, temos dois subconjuntos infinitos e disjuntos com . A sequência restringida a cada um desses conjuntos converge para o mesmo limite . O conteúdo aqui é a definição de convergência de subsequências e a passagem de estimativas de índice para a sequência inteira.
Passo 2
Como e são infinitos, podemos enumerá-los em ordem crescente:
Então as subsequências são e .
Passo 3
Pela convergência em , para dado existe tal que, para todo ,
Defina então
N'1=n1(K1)
Com isso, sempre que nin N1 e n>= N'1, existe k>= K1 com n=n1(k) e logo lvert xn-Lrvert<varepsilon.
Passo 4
De forma análoga, pela convergência em N2, existe K2 tal que, para todo k>= K2,
l|xn2(k)-Lr|<varepsilon
Defina
N'2=n2(K2)
Assim, para qualquer nin N2 com n>= N'2 vale lvert xn-Lrvert<varepsilon.
Passo 5
Para a sequência inteira, escolha
N0=maxlN'1,N'2r
Se n>= N0, então nin N1 ou nin N2. No primeiro caso n>= N'1 implica lvert xn-Lrvert<varepsilon; no segundo caso n>= N'2 implica lvert xn-Lrvert<varepsilon. Logo para todo n>= N0 temos