Sejam N1 subset N e N2 subset N subconjuntos infinitos e disjuntos tais que N1 cup N2=N. Seja ( xn ) uma sequência cujas restrições a N1 e a N2 convergem para o mesmo limite L. Prove que ( xn ) converge para L.

Passo 1

Resumindo, temos dois subconjuntos infinitos e disjuntos N1,N2subsetN com N1cup N2=N. A sequência (xn) restringida a cada um desses conjuntos converge para o mesmo limite L. O conteúdo aqui é a definição de convergência de subsequências e a passagem de estimativas de índice para a sequência inteira.

Passo 2

Como N1 e N2 são infinitos, podemos enumerá-los em ordem crescente:
N1=,n1(1)<n1(2)<cdots, N2=,n2(1)<n2(2)<cdots
Então as subsequências são l(xn1(k)r)k=1^infty e l(xn2(k)r)k=1^infty.

Passo 3

Pela convergência em N1, para dado varepsilon>0 existe K1inN tal que, para todo k>= K1,
l|xn1(k)-Lr|<varepsilon
Defina então
N'1=n1(K1)
Com isso, sempre que nin N1 e n>= N'1, existe k>= K1 com n=n1(k) e logo lvert xn-Lrvert<varepsilon.

Passo 4

De forma análoga, pela convergência em N2, existe K2 tal que, para todo k>= K2,
l|xn2(k)-Lr|<varepsilon
Defina
N'2=n2(K2)
Assim, para qualquer nin N2 com n>= N'2 vale lvert xn-Lrvert<varepsilon.

Passo 5

Para a sequência inteira, escolha
N0=maxlN'1,N'2r
Se n>= N0, então nin N1 ou nin N2. No primeiro caso n>= N'1 implica lvert xn-Lrvert<varepsilon; no segundo caso n>= N'2 implica lvert xn-Lrvert<varepsilon. Logo para todo n>= N0 temos
l|xn-Lr|<varepsilon

Resposta

Portanto, xnto L quando ntoinfty.

Exercícios relacionados