Calcule a área delimitada pela hipérbole
e pela reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área que fica limitada pela hipérbole
e pela reta
. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo, especificamente integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como essas duas curvas se comportam no plano cartesiano. A hipérbole dada é do tipo que abre para os lados, já que o
está positivo. As assíntotas dessa hipérbole são linhas que ela se aproxima, mas nunca toca. A reta
é uma linha vertical que corta a hipérbole.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta
. Para isso, substituímos
na equação da hipérbole:
Agora, vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por 9:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Para encontrar a área limitada pelas curvas, vamos considerar apenas a parte superior da hipérbole e depois multiplicar por 2 devido à simetria em relação ao eixo
. A equação da hipérbole pode ser reescrita para resolver
:
Então, a função que vamos integrar é
.
Passo 5
Agora, definimos os limites de integração. A hipérbole tem seus vértices em
, mas como estamos considerando
, nosso intervalo de integração será de
a
.
Passo 6
A área
pode ser calculada multiplicando por 2 a integral de
de
a
:
Passo 7
Vamos resolver a integral
. Usamos a substituição trigonométrica ou integração por partes, mas aqui vamos aplicar uma fórmula padrão de integração:
Onde
:
Passo 8
Aplicamos os limites de integração de 2 a 3:
Simplificando:
Passo 9
Simplificamos a expressão final:
Podemos combinar os termos logarítmicos:
Resposta
A área delimitada pela hipérbole
e pela reta
é: