Calcule a área delimitada pela hipérbole x^2/4 - y^2/9 = 1 e pela reta x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área que fica limitada pela hipérbole e pela reta . Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo, especificamente integração para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como essas duas curvas se comportam no plano cartesiano. A hipérbole dada é do tipo que abre para os lados, já que o está positivo. As assíntotas dessa hipérbole são linhas que ela se aproxima, mas nunca toca. A reta é uma linha vertical que corta a hipérbole.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta . Para isso, substituímos na equação da hipérbole:
Agora, vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por 9:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Para encontrar a área limitada pelas curvas, vamos considerar apenas a parte superior da hipérbole e depois multiplicar por 2 devido à simetria em relação ao eixo . A equação da hipérbole pode ser reescrita para resolver :
Então, a função que vamos integrar é .

Passo 5

Agora, definimos os limites de integração. A hipérbole tem seus vértices em , mas como estamos considerando , nosso intervalo de integração será de a .

Passo 6

A área pode ser calculada multiplicando por 2 a integral de de a :

Passo 7

Vamos resolver a integral . Usamos a substituição trigonométrica ou integração por partes, mas aqui vamos aplicar uma fórmula padrão de integração:
Onde :

Passo 8

Aplicamos os limites de integração de 2 a 3:
Simplificando:

Passo 9

Simplificamos a expressão final:
Podemos combinar os termos logarítmicos:

Resposta

A área delimitada pela hipérbole e pela reta é:

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