Suponha que uma pressão sonora provoque a vibração da membrana do tímpano de uma pessoa e que a velocidade v(t) de um ponto na membrana seja dada por v(t) = 2 e^(-t) sen(t).
(b) Determine a posição s(t) do ponto da membrana supondo que s(0) = 0.

Passo 1

O exercício nos pede para encontrar a posição de um ponto na membrana do tímpano, dado que sua velocidade é . Estamos trabalhando com o conteúdo de Cálculo, especificamente com integrais, para relacionar velocidade e posição. Para resolver, precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo e considerar a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, sabemos que posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar , vamos integrar :
Como , simplificamos para:

Passo 3

Para integrar , podemos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que é uma integral padrão. Vamos usar a fórmula de integração de :
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Sabemos que e , então:

Resposta

A posição do ponto na membrana é:

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