Suponha que uma pressão sonora provoque a vibração da membrana do tímpano de uma pessoa e que a velocidade
de um ponto na membrana seja dada por
.
(b) Determine a posição
do ponto da membrana supondo que
.
(b) Determine a posição
Passo 1
O exercício nos pede para encontrar a posição
de um ponto na membrana do tímpano, dado que sua velocidade é . Estamos trabalhando com o conteúdo de Cálculo, especificamente com integrais, para relacionar velocidade e posição. Para resolver, precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo e considerar a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, sabemos que posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar
, vamos integrar
:
Como
, simplificamos para:
Passo 3
Para integrar , podemos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que é uma integral padrão. Vamos usar a fórmula de integração de :
No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Sabemos que e
, então:
Resposta
A posição do ponto na membrana é: