Utilize as ferramentas matemáticas de limites e continuidade para calcular os limites abaixo:
(e) lim (x, y) (0,0) ln (1+x^2+y^2)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de uma função quando as duas variáveis lim (x, y) (0,0) ln (1+x^2+y^2)=0 e se aproximam de zero. O que está na questão é:
Aqui, estamos lidando com limites multivariáveis e funções contínuas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função logaritmo natural, , é contínua onde está definida, ou seja, para . Nesse caso, sempre será maior que 1, então a função está boa para todo e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando 1 + x^2 + y^2 1 + 0 + 0 = 1 se aproxima de . Se e estão se aproximando de zero, e também vão para zero. Assim, temos que:

Passo 4

Como a função lim (x, y) (0,0) ln (1+x^2+y^2) = ln ( lim (x, y) (0,0) (1+x^2+y^2) ) = ln(1) é contínua, podemos substituir o limite diretamente:

Passo 5

Sabemos que . Portanto, o limite é igual a zero.

Resposta

lim (x, y) (0,0) ln (1+x^2+y^2) = 0

Exercícios relacionados