Determine se os limites existem. Se existir, determine o seu valor.
© lim (x, y) (0,0) x y3 x^2+2 y^2 ; nexists

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se o limite
lim(x, y) (0,0) xy3x^2 + 2y^2
existe. Se existir, devemos encontrar o valor desse limite. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Vamos começar avaliando o limite ao longo do caminho onde limx 0 x(kx)3x^2 + 2(kx)^2 = limx 0 kx^23x^2 + 2k^2x^2 = limx 0 k3 + 2k^2 = k3 + 2k^2 , onde é uma constante qualquer. Substituindo por na expressão do limite, temos:
Isso mostra que o valor do limite depende do valor de . Ou seja, diferentes caminhos (valores de ) levam a diferentes valores para o limite.

Passo 3

Para confirmar que o limite realmente depende do caminho, vamos escolher dois valores específicos para limx 0 03x^2 + 0 = 0 :
  1. Se limx 0 x cdot x3x^2 + 2x^2 = limx 0 x^25x^2 = 15 (caminho ):
  2. Se (caminho ):
Esses dois resultados diferentes mostram que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe, pois os valores dependem do caminho pelo qual se aproxima de .

Exercícios relacionados