Determine se os limites existem. Se existir, determine o seu valor.
(e) lim (x, y, z) (2,-1,2) x z^2raizx^2+y^2+z^2=83

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para determinar se o limite existe e, se existir, qual é o valor dele. A matéria envolvida aqui é Cálculo Multivariável, especificamente o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Vamos precisar utilizar conceitos de limites e propriedades de funções contínuas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos lidando:
f(x, y, z) = x z^2raizx^2+y^2+z^2
Queremos encontrar:
lim (x, y, z) (2,-1,2) f(x, y, z)

Passo 3

Para calcular esse limite, uma boa estratégia é substituir diretamente os valores de , e no ponto para o qual estamos aproximando, desde que a função seja contínua nesse ponto.

Passo 4

Vamos verificar se a função é contínua no ponto raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3 . A função está bem definida nesse ponto se o denominador não for zero. Calculando o denominador:
Como o denominador é 3, que não é zero, a função é contínua nesse ponto.

Passo 5

Como a função é contínua no ponto f(2, -1, 2) = 2 times (2)^2raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 2 times 43 = 83 , podemos simplesmente substituir os valores de , e na função para encontrar o limite:

Resposta

O limite existe e o seu valor é .

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