Calcule a área delimitada por um laço da rosácea de quatro pétalas r=2 \sin (2 \theta).

Passo 1

O enunciado pede a área de um laço da rosácea dada em coordenadas polares por r=2\sin(2\theta). O conteúdo envolvido é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
A=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}r^2\,d\theta.

Passo 2

Identificamos um laço em que r\ge0. Como \sin(2\theta)\ge0 para 0\le2\theta\le\pi, ou seja para 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}, os limites de integração de um laço são \alpha=0 e \beta=\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituímos r=2\sin(2\theta) na fórmula de área:
A =\frac12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(2\sin(2\theta)\bigr)^2\,d\theta =\frac12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}4\sin^2(2\theta)\,d\theta =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(2\theta)\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade de potência reduzida \sin^2(x)=\tfrac{1-\cos(2x)}2 com x=2\theta:
2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(2\theta)\,d\theta =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos(4\theta)}2\,d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(1-\cos(4\theta)\bigr)\,d\theta.
Agora integramos:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1\,d\theta -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(4\theta)\,d\theta =\Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\Bigl[\tfrac{1}{4}\sin(4\theta)\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{2}-\frac{1}{4}\bigl(\sin(2\pi)-\sin0\bigr) =\frac{\pi}{2}.

Resposta

A área de um laço da rosácea r=2\sin(2\theta) é \displaystyle \frac{\pi}{2}.

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