Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria e determine se cada integral é convergente ou divergente.
\int_{0}^{1} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral
\int_{0}^{1}\ln(x)\,dx
e explicar por que ela é imprópria e se converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias do tipo “integrando não limitado no intervalo” — aqui ocorre uma descontinuidade infinita em x=0, pois \ln(x)\to -\infty quando x\to0^+.

Passo 2

Para lidar com a descontinuidade em x=0, substituímos o limite inferior por um parâmetro a>0 e definimos
\int_{0}^{1}\ln(x)\,dx =\lim_{a\to0^+}\int_{a}^{1}\ln(x)\,dx.
Agora encontramos uma primitiva de \ln(x):
\int \ln(x)\,dx =x\ln(x)-x + C.
Portanto,
\int_{a}^{1}\ln(x)\,dx =\bigl[x\ln(x)-x\bigr]_{x=a}^{x=1} =(1\cdot\ln(1)-1)-\bigl(a\ln(a)-a\bigr).
Como \ln(1)=0, isso fica
-1 - \bigl(a\ln(a)-a\bigr) =-1 - a\ln(a) + a.

Passo 3

Examinamos o limite quando a\to0^+. Sabemos que
\lim_{a\to0^+}a = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{a\to0^+}a\ln(a)=0
(essa última é um limite clássico — a vai a zero mais rápido que \ln(a) vai a -\infty). Logo
\lim_{a\to0^+}\bigl(-1 - a\ln(a) + a\bigr) =-1 - 0 + 0 =-1.
Como esse limite é finito, a integral imprópria converge.

Resposta

A integral é imprópria porque \ln(x)\to-\infty quando x\to0^+. Ela é convergente e seu valor é -1.

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