Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria e determine se cada integral é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral
e explicar por que ela é imprópria e se converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias do tipo “integrando não limitado no intervalo” — aqui ocorre uma descontinuidade infinita em
, pois
quando
.
Passo 2
Para lidar com a descontinuidade em
, substituímos o limite inferior por um parâmetro
e definimos
Agora encontramos uma primitiva de
:
Portanto,
Como
, isso fica
Passo 3
Examinamos o limite quando
. Sabemos que
(essa última é um limite clássico —
vai a zero mais rápido que
vai a
). Logo
Como esse limite é finito, a integral imprópria converge.
Resposta
A integral é imprópria porque
quando
. Ela é convergente e seu valor é
.