Calcule a área delimitada por x=-1 x=1, y=0 e pelo gráfico de y=x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área que está delimitada pelas linhas verticais $ x = -1 $ e $ x = 1 $, pela linha horizontal $ y = 0 $ (que é o eixo X) e pelo gráfico da função $ y = x^3 $. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente a integração definida para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 1 $. A função $ y = x^3 $ é uma curva cúbica que passa pela origem e é simétrica em relação à origem. No nosso caso, vamos olhar para essa função entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Para achar a área entre essas curvas, precisamos calcular a integral da função $ y = x^3 $ entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $. A integral definida nos dá a área sob a curva de $ x = -1 $ a $ x = 1 y = x^3 y = 0 $) como limite inferior, isso já está ajustado para a área que queremos.

Passo 4

Vamos montar a integral:
Área = integral-1^1 x^3 , dx Á
Agora, vamos lembrar como integrar $ x^3 $. A antiderivada de $ x^n $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $, então para $ x^3 $, temos:
x^3
Onde $ C $ é a constante de integração, mas como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com ela.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração:
Área = [ x^44 ]-1^1 = 1^44 - (-1)^44 = 14 - 14 = 0 Á
O resultado deu zero, mas isso acontece porque a função $ x^3 $ é ímpar e simétrica em relação à origem, fazendo com que as áreas positivas e negativas se cancelem.

Passo 6

No entanto, estamos interessados na área total, que é sempre positiva. Para isso, vamos considerar o valor absoluto da função dentro da integral:
Área = integral-1^1 |x^3| , dx Á
Mas como $ x^3 $ é negativo quando $ x $ é negativo e positivo quando $ x $ é positivo, podemos dividir a integral em duas partes:
x^3 Á

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
integral-1^0 (-x^3) , dx = -[ x^44 ]-1^0 = -( 0 - 14 ) = 14
integral0^1 x^3 , dx = [ x^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14
Somando as duas partes:
Área = 14 + 14 = 24 = 12 Á

Resposta

A área delimitada pelas curvas é 12 unidades de área.

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