Calcule a área delimitada por
e pelo gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área que está delimitada pelas linhas verticais $ x = -1 $ e $ x = 1 $, pela linha horizontal $ y = 0 $ (que é o eixo X) e pelo gráfico da função $ y = x^3 $. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente a integração definida para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 1 $. A função $ y = x^3 $ é uma curva cúbica que passa pela origem e é simétrica em relação à origem. No nosso caso, vamos olhar para essa função entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Para achar a área entre essas curvas, precisamos calcular a integral da função $ y = x^3 $ entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $. A integral definida nos dá a área sob a curva de $ x = -1 $ a $ x = 1
y = 0 $) como limite inferior, isso já está ajustado para a área que queremos.
Passo 4
Vamos montar a integral:
Agora, vamos lembrar como integrar $ x^3 $. A antiderivada de $ x^n $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $, então para $ x^3 $, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração, mas como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com ela.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração:
O resultado deu zero, mas isso acontece porque a função $ x^3 $ é ímpar e simétrica em relação à origem, fazendo com que as áreas positivas e negativas se cancelem.
Passo 6
No entanto, estamos interessados na área total, que é sempre positiva. Para isso, vamos considerar o valor absoluto da função dentro da integral:
Mas como $ x^3 $ é negativo quando $ x $ é negativo e positivo quando $ x $ é positivo, podemos dividir a integral em duas partes:
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
Somando as duas partes:
Resposta
A área delimitada pelas curvas é
unidades de área.