Determinar, se existir, uma função que tenha por campo gradiente cada campo F(x, y) ou F(x, y, z) seguinte:
F(x, y)=(3 x^2 y, x^3), forall(x, y) in R^2

Passo 1

O enunciado nos dá o campo
F(x,y) = l(3x^2y,;x^3r)
definido em R^2. Queremos encontrar uma função f(x,y) tal que
nabla f = F. Isto é um problema de campo conservativo e potencial escalar.

Passo 2

Para que exista f com nabla f=F, é necessário e suficiente que
partial F1/partial y = partial F2/partial x. Aqui
partial F1partial y =partialpartial y(3x^2y) =3x^2,
partial F2partial x =partialpartial x(x^3) =3x^2
Como ambas derivadas coincidem, o campo é conservativo e tem potencial.

Passo 3

Integramos F1 em relação a x para obter uma forma inicial de f:
f(x,y) = integral 3x^2y ,dx = x^3y + g(y),
onde g(y) é uma função “constante” em relação a x.

Passo 4

Impondo partial f/partial y = F2, temos
partialpartial yl(x^3y + g(y)r) = x^3 + g'(y) stackrel!= x^3
Logo g'(y)=0, o que implica g(y) constante.

Resposta

A família de potenciais é
f(x,y) = x^3y + C,
com CinR.

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