Determinar, se existir, uma função que tenha por campo gradiente cada campo
ou
seguinte:
Passo 1
O enunciado nos dá o campo
definido em . Queremos encontrar uma função
tal que
. Isto é um problema de campo conservativo e potencial escalar.
definido em
Passo 2
Para que exista
com
, é necessário e suficiente que
. Aqui
Como ambas derivadas coincidem, o campo é conservativo e tem potencial.
Passo 3
Integramos
em relação a
para obter uma forma inicial de
:
onde
é uma função “constante” em relação a
.
Passo 4
Impondo
, temos
Logo
, o que implica
constante.
Resposta
A família de potenciais é
com
.