Calcule a área dentro do círculo r=4 e fora de r=8+6 sen(theta).

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares que fica por dentro do círculo
r=4
e por fora da limaçon
r=8+6sintheta
O conteúdo principal é a fórmula de área em polares, que diz que, para duas curvas r=rrm in(theta) e r=rrm out(theta) com rrm in<= rrm out, a área é
A=12integraltheta1^theta2l(rrm out(theta)^2 - rrm in(theta)^2r),dtheta

Passo 2

Primeiro encontramos os ângulos em que as curvas se intersectam, resolvendo
4 = 8+6sintheta Longrightarrow sintheta = -46 = -23
Seja alpha = arcsin!l(tfrac23r). As soluções em [0,2pi) são
theta1 = pi + alpha, theta2 = 2pi - alpha
Nessas direções temos 8+6sintheta<=4, logo a região existe apenas para thetain[theta1,theta2].

Passo 3

Nessa faixa de theta, o raio mínimo é
rrm in(theta)=8+6sintheta
e o raio máximo é
rrm out(theta)=4
Portanto a área é
A=12integraltheta1^theta2l(4^2 - (8+6sintheta)^2r),dtheta =12integraltheta1^theta2l(16 - (8+6sintheta)^2r),dtheta

Passo 4

Expandindo o integrando:
(8+6sintheta)^2 = 64 +96sintheta +36sin^2theta,
logo
16 - (8+6sintheta)^2 = -48 -96sintheta -36sin^2theta
Usando sin^2theta = tfrac1-cos2theta2, o integrando vira
-48 -96sintheta -36cdot1-cos2theta2 = -66 -96sintheta +18cos2theta
Então
A=12integraltheta1^theta2l(-66 -96sintheta +18cos2thetar),dtheta

Passo 5

Um antiderivado conveniente é
F(theta) = -66,theta +96costheta +9sin2theta,
pois
F'(theta) = -66 -96sintheta +18cos2theta
Logo
A =12l[F(theta2)-F(theta1)r]

Passo 6

Calculamos F(theta2) e F(theta1), lembrando
cos(2pi-alpha)=cosalpha,
sin(4pi-2alpha)=-sin2alpha,
cos(pi+alpha)=-cosalpha,
sin(2pi+2alpha)=sin2alpha.
Fazendo as contas (detalhes ocultos) obtém-se
F(theta2)-F(theta1) = -66pi +132alpha +192cosalpha -18sin2alpha
Dividindo por 2 dá
A = -33pi +66alpha +96cosalpha -9sin2alpha

Passo 7

Basta agora usar sinalpha=2/3, logo cosalpha=raiz1-(2/3)^2=tfracraiz53, e
sin2alpha=2sinalphacosalpha=tfrac4raiz59. Substituindo:
A = -33pi +66arcsin!l(tfrac23r) +96cdottfracraiz53 -9cdottfrac4raiz59 = -33pi +66arcsin!l(tfrac23r) +28raiz5

Resposta

boxedA = -33pi +66arcsin!l(tfrac23r) +28raiz5

Exercícios relacionados