Calcule a área dentro do círculo
e fora de
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região em coordenadas polares que fica por dentro do círculo
e por fora da limaçon
O conteúdo principal é a fórmula de área em polares, que diz que, para duas curvas
e
com
, a área é
Passo 2
Primeiro encontramos os ângulos em que as curvas se intersectam, resolvendo
Seja
. As soluções em
são
Nessas direções temos
, logo a região existe apenas para
.
Passo 3
Nessa faixa de
, o raio mínimo é
e o raio máximo é
Portanto a área é
Passo 4
Expandindo o integrando:
logo
Usando
, o integrando vira
Então
Passo 5
Um antiderivado conveniente é
pois
Logo
Passo 6
Calculamos
e
, lembrando
,
,
,
.
Fazendo as contas (detalhes ocultos) obtém-se
Fazendo as contas (detalhes ocultos) obtém-se
Dividindo por 2 dá
Passo 7
Basta agora usar
, logo
, e
. Substituindo: