Considere a função f(x)=cx^3-1x-1 , se x<1 k , se x >= 1. Determine o valor da constante k para que f(x) seja contínua em x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos
f(x)= x^3-1x-1, &se x<1, k, &se x>=1,
e a gente quer achar o valor de k para que f seja contínua em x=1.
Conteúdo: continuidade de função em um ponto, limite lateral e fatoração de polinômios.

Passo 2

Antes de mais nada, continuidade em x=1 significa que o limite de f(x) quando xto1 existe e é igual a f(1).
Ou seja, precisa dar o mesmo resultado vindo da esquerda ( xto1^-) e da direita ( xto1^+), e esse valor tem que ser exatamente f(1).

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, que usa a parte x^3-1x-1.
Para simplificar x^3-1x-1, usamos a fatoração de diferença de cubos:
x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)
Logo, para xneq1,
x^3-1x-1 = x^2 + x + 1
Portanto
limxto1^-f(x) = limxto1^-l(x^2+x+1r) = 1^2 + 1 + 1 = 3

Passo 4

Pela direita ( xto1^+), f(x)=k é constante, então
limxto1^+f(x)=k
Para f ser contínua em 1, esses dois limites têm que ser iguais e iguais ao valor de f(1). Como f(1)=k, impomos
limxto1^-f(x) ;=;limxto1^+f(x) Longrightarrow 3 = k

Resposta

k = 3.

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