Resolva o sistema de equações diferenciais.
l x^prime=2 x+3 y y^prime=2 x+y
2,0 pontos

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear homogêneo de equações diferenciais com coeficientes constantes
x' = 2x + 3y, y' = 2x + y
O conteúdo aqui é a teoria de sistemas X'=AX, que se resolve encontrando autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial
X' = A,X, A = 2 & 3[6pt] 2 & 1, X=x[2pt] y
Para achar as soluções, calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0.]

Passo 3

Calculando o determinante:
det(A-lambda I) =det2-lambda & 3[3pt] 2 & 1-lambda =(2-lambda)(1-lambda)-6 =lambda^2-3lambda-4
As raízes desse polinômio são
lambda = 3pmraiz9+162 = 3pm52,
logo os autovalores são lambda1=4 e lambda2=-1.]

Passo 4

Para cada lambdai achamos um autovetor vineq0 que satisfaz (A-lambdai I)vi=0.
Para lambda1=4:
A-4I = -2 & 3[3pt] 2 & -3,
de -2x+3y=0 segue x=tfrac32y. Tomando y=2 escolhemos
v1 = 3[2pt] 2
Para lambda2=-1:
A+I = 3 & 3[3pt] 2 & 2,
de 3x+3y=0 segue x=-y. Tomando y=1 escolhemos
v2 = -1[2pt] 1 ]

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos vi e^lambdai t:
X(t) = C1,v1,e^4t + C2,v2,e^-t
Desmembrando em coordenadas,
x(t)[3pt] y(t) = C1 3[2pt] 2e^4t + C2 -1[2pt] 1e^-t,
ou seja
x(t)=3C1e^4t-C2e^-t, y(t)=2C1e^4t+C2e^-t ]

Resposta

x(t)=3C1e^4t-C2e^-t, y(t)=2C1e^4t+C2e^-t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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