Dada a curva paramétrica
, determine:
a. O comprimento da curva
.
b. A área da superfície de revolução gerada pela rotação de
em torno do eixo
.
a. O comprimento da curva
b. A área da superfície de revolução gerada pela rotação de
Passo 1
Resumo do problema: temos uma curva paramétrica C dada por x=3t² e y=3t−t³ para t∈[0,1]. Precisamos calcular o comprimento da curva e a área da superfície obtida pela rotação de C em torno do eixo y, usando as fórmulas em coordenadas paramétricas.
Passo 2
Calcular as derivadas em relação a t: dx/dt = 6t e dy/dt = 3 − 3t².
Passo 3
Encontrar o elemento de comprimento ds usando a fórmula
Substituindo dx/dt e dy/dt, obtemos
Passo 4
Calcular o comprimento da curva por
Passo 5
Calcular a área de superfície pela rotação em torno do eixo y usando
Substituindo x(t)=3t^2 e ds=3(1+t^2)dt, temos
Resposta
O comprimento da curva é 4 e a área da superfície de revolução é
.