(2,5) Dada a curva paramétrica C: x=3 t^2, y=3 t-t^3, 0 <= t <= 1, determine:
a. O comprimento da curva C.
b. A área da superfície de revolução gerada pela rotação de C em torno do eixo y.

Passo 1

Resumo do problema: temos uma curva paramétrica C dada por x=3t² e y=3t−t³ para t∈[0,1]. Precisamos calcular o comprimento da curva e a área da superfície obtida pela rotação de C em torno do eixo y, usando as fórmulas em coordenadas paramétricas.

Passo 2

Calcular as derivadas em relação a t: dx/dt = 6t e dy/dt = 3 − 3t².

Passo 3

Encontrar o elemento de comprimento ds usando a fórmula
Substituindo dx/dt e dy/dt, obtemos

Passo 4

Calcular o comprimento da curva por

Passo 5

Calcular a área de superfície pela rotação em torno do eixo y usando
S = 2pi integral0^1 x(t),ds
Substituindo x(t)=3t^2 e ds=3(1+t^2)dt, temos
S = 2pi integral0^1 3t^2 cdot 3(1+t^2),dt = 18pi integral0^1(t^2 + t^4),dt = 48pi5

Resposta

O comprimento da curva é 4 e a área da superfície de revolução é 48pi5.

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