Calcule a área dentro da região limitada por r=6-4 cos (theta).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a área da região delimitada pela curva em coordenadas polares
r = 6 - 4cos(theta)
Para isso, vamos usar a fórmula de área em polares
A = 12 integral0^2pi r^2,dtheta,
pois, como 6>4, a curva não tem laço interno e é percorrida uma vez quando theta vai de 0 a 2pi.

Passo 2

Montamos a integral de área substituindo r:
A = 12 integral0^2pi (6 - 4costheta)^2 ,dtheta

Passo 3

Expandimos o quadrado e simplificamos usando cos^2theta = tfrac1+cos2theta2:
(6 - 4costheta)^2 = 36 - 48costheta + 16cos^2theta = 36 - 48costheta + 16cdot1+cos2theta2 = 44 - 48costheta + 8cos2theta
Logo,
A = 12 integral0^2pi l(44 - 48costheta + 8cos2thetar),dtheta

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral0^2pi44,dtheta = 44cdot2pi, integral0^2picostheta,dtheta = 0, integral0^2picos2theta,dtheta = 0
Portanto
A = 12 l(44cdot2pir) = 44pi

Resposta

44pi

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