Calcule a área de um dodecágono regular inscrito em uma circunferência de raio R.

Passo 1

O enunciado pede a área de um dodecágono regular (12 lados iguais) inscrito numa circunferência de raio R. Vamos usar a ideia de dividir o polígono em 12 triângulos isósceles com vértice no centro do círculo e aplicar trigonometria para encontrar cada área.

Passo 2

O dodecágono inscrito pode ser dividido em 12 triângulos congruentes, cada um com dois lados de comprimento R (os raios) e ângulo central igual a tfrac360^circ12=30^circ (ou tfrac2pi12=tfracpi6 em radianos).
Para cada um desses triângulos isósceles, a área é dada por Atri=tfrac12,Rcdot R,sinl(tfracpi6r). Como sin(tfracpi6)=tfrac12, temos:
Atri=tfrac12,R^2cdottfrac12=tfracR^24

Passo 3

Somando as áreas dos 12 triângulos, a área total do dodecágono fica:
A=12timestfracR^24=3R^2

Resposta

3R^2

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