Use a Regra da Cadeia para encontrar \frac{d z}{d t}.
z=x^{2}+y^{2}+2 x y, \quad x=\sin (t), \quad y=e^{t}

Passo 1

Temos a função composta
z = x^2 + y^2 + 2xy,
com x = \sin(t) e y = e^t.
O conteúdo é a Regra da Cadeia para função de várias variáveis, segundo a qual
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Precisamos, portanto, das derivadas parciais de z em relação a x e y, e das derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 2y, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y + 2x.

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[\sin(t)] = \cos(t), \qquad \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}[e^t] = e^t.

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
\frac{dz}{dt} = (2x + 2y)\,\cos(t) + (2y + 2x)\,e^t.

Passo 5

Agrupando termos e substituindo x=\sin(t), y=e^t:
\frac{dz}{dt} = 2(x + y)\bigl(\cos(t) + e^t\bigr) = 2\bigl(\sin(t) + e^t\bigr)\bigl(\cos(t) + e^t\bigr).

Resposta

\frac{dz}{dt} = 2\bigl(\sin(t) + e^t\bigr)\bigl(\cos(t) + e^t\bigr).

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