Dado o conjunto B=\{\emptyset, 2,\{2,3\},\{4\}, 7, d\}, assinale V ou F nas sentenças abaixo. Justifique suas respostas.
\{2,7\} \subset B

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto B=\{\emptyset, 2,\{2,3\},\{4\}, 7, d\} (peguei estes elementos do enunciado).
A sentença a ser avaliada é: \{2,7\}\subset B.
Ou seja, devemos dizer se a afirmação “o conjunto \{2,7\} é subconjunto de B” é verdadeira (V) ou falsa (F), e justificar.

Passo 2

Definição e ideia principal (passo-a-passo didático).
  • Dizemos que um conjunto X é subconjunto de outro conjunto Y, e escrevemos X\subset Y, quando todo elemento de X também é elemento de Y. Formalmente:
X\subset Y \iff \forall x\\ (x\in X \Rightarrow x\in Y).
  • Atenção à diferença entre “ser elemento” e “ser subconjunto”: por exemplo, se A=\{1,\{2\}\}, então 1\in A e \{2\}\in A, mas 2\notin A. Já \{1\}\subset A é verdadeiro porque 1\in A. Esse tipo de confusão aparece muito em provas, então é bom ficar atento.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso concreto: a proposta \{2,7\}\subset B exige que verifiquemos, para cada elemento de \{2,7\}, se ele pertence a B. Os elementos a checar são 2 e 7.

Passo 4

Verificação do primeiro elemento 2.
O conjunto B foi dado como B=\{\emptyset, 2,\{2,3\},\{4\}, 7, d\}. Vejo explicitamente no enunciado que o símbolo 2 aparece como um elemento de B. Logo
2\in B.

Passo 5

Verificação do segundo elemento 7.
Novamente, olhando para a lista de elementos de B no enunciado, o símbolo 7 aparece ali. Portanto
7\in B.

Passo 6

Conclusão lógica imediata.
Como todos os elementos de \{2,7\} (isto é, 2 e 7) pertencem a B, pela definição de subconjunto temos
\{2,7\}\subset B.
Observação adicional útil para prova: se alguém reclamar sobre o símbolo \subset (algumas pessoas usam \subset para subconjunto não-estrito e outras para subconjunto próprio), aqui a afirmação é verdadeira em qualquer interpretação, porque \{2,7\} está contido em B e além disso \{2,7\}\neq B, então é até subconjunto próprio.

Passo 7

Exemplos pedagógicos rápidos para fixar (leitura rápida):
  • \{2\}\subset B é verdadeiro porque 2\in B.
  • \{2,3\}\subset B é falso: embora \{2,3\}\in B (o conjunto \{2,3\} é um elemento de B), o elemento 3 não aparece entre os elementos de B, logo 3\notin B e portanto \{2,3\} não é subconjunto de B. Isso ilustra bem a diferença entre “ \in” e “ \subset”.

Resposta

V

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