Calcule a soma S=1+2+3+\ldots+100=\sum_{i=1}^{100} i

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 100 = \sum_{i=1}^{100} i.
Informações dadas:
  • A sequência somada é a sequência dos inteiros positivos de 1 até 100.
  • Queremos o valor numérico de S.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação intuitiva): emparelhar termos do começo com termos do fim para tornar a soma mais fácil. Observe os pares
(1+100),\\ (2+99),\\ (3+98),\\ \ldots,\\ (50+51).
Cada um desses pares tem o mesmo valor. Vamos explorar isso para calcular S.

Passo 3

Calcule o valor de cada par e o número de pares. Para cada par:
1+100 = 101,\qquad 2+99 = 101,\qquad 3+98 = 101,\\ \ldots,\\\ 50+51 = 101.
Como há 100 termos ao todo e cada par usa 2 termos, o número de pares é
\frac{100}{2} = 50.
Portanto podemos escrever
S = 50 \times 101.

Passo 4

Fazer a multiplicação passo a passo sem calculadora:
100 \times 101 = 100\cdot100 + 100\cdot1 = 10000 + 100 = 10100.
Como S = 50 \times 101, note que 50 = \dfrac{100}{2}, assim
S = 50 \times 101 = \frac{100 \times 101}{2} = \frac{10100}{2}.
Agora divida:
\frac{10100}{2} = 5050.

Passo 5

Apresentando a mesma ideia numa fórmula geral (útil para provas): para uma progressão aritmética com n termos, primeiro termo a_1 e último termo a_n, a soma é
S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}.
Aqui n=100, a_1=1 e a_n=100, então
S = \frac{100\,(1+100)}{2} = \frac{100\cdot101}{2} = 5050.
Isso confirma o resultado e é a fórmula que vale para qualquer soma de termos consecutivos.

Passo 6

Exemplo curto para fixar (prática): somar 1+2+3+4+5. Aplicando a fórmula com n=5, a_1=1, a_n=5:
S_5 = \frac{5(1+5)}{2} = \frac{5\cdot6}{2} = \frac{30}{2} = 15.
Pode checar somando diretamente 1+2+3+4+5=15. Assim fica claro como aplicar na prova.

Resposta

S=5050

Exercícios relacionados