Calcule a área entre os gráficos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área entre os gráficos de
e
.
Informações dadas e perguntas que precisamos responder:
Informações dadas e perguntas que precisamos responder:
- As duas curvas são
e . - A tarefa é encontrar a área da região limitada por essas duas curvas (a área entre os gráficos).
- Não há outras condições escondidas — precisamos determinar onde elas se interceptam e, entre essas interseções, qual curva está acima da outra para montar a integral que dá a área.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção, pois são os limites de integração. Igualamos as funções:
Rearranjando:
Agora resolvemos a equação quadrática. Fazendo fatoração:
Portanto as raízes (pontos de interseção) são
Passo 3
Precisamos saber qual curva é a superior (maior
) no intervalo entre
e
. Escolho um ponto de teste simples dentro do intervalo, por exemplo
.
Calculo os valores:
Calculo os valores:
Como
, a reta
está acima da parábola
para
entre
e
. Logo, a função superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Agora montamos a integral que dá a área entre duas curvas. Regra (explicando por que funciona): se em cada abscissa
a distância vertical entre as curvas é
, somando essas “fatinhas” verticais por integração de
até
obtemos a área:
Aqui
e
,
e
. Então:
Passo 5
Simplifico o integrando:
Portanto a integral fica
Passo 6
Agora vamos integrar termo a termo. Lembrete da regra de potências (aula rápida): para
,
Aplicando termo a termo:
Logo uma primitiva (antiderivada) de
é
Passo 7
Agora avaliamos a integral definida com a primitiva
:
Calculemos
:
Passo 8
Agora
:
Colocando em denominador comum
:
Passo 9
Subtraindo:
Colocando em denominador comum
:
Simplificando a fração:
Passo 10
Interpretação final rápida: a área entre as curvas
e
no intervalo onde elas se encontram (
a
) é
unidades de área. Parabéns — você conseguiu! Se quiser, faço um rascunho da região ou repito com outro ponto de teste para reforçar.