Calcule a área entre os gráficos de y=x+2 e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área entre os gráficos de y=x+2 e y=x^{2}.
Informações dadas e perguntas que precisamos responder:
  • As duas curvas são \;y=x+2\; e \;y=x^{2}\;.
  • A tarefa é encontrar a área da região limitada por essas duas curvas (a área entre os gráficos).
  • Não há outras condições escondidas — precisamos determinar onde elas se interceptam e, entre essas interseções, qual curva está acima da outra para montar a integral que dá a área.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção, pois são os limites de integração. Igualamos as funções:
x+2 = x^{2}.
Rearranjando:
x^{2}-x-2=0.
Agora resolvemos a equação quadrática. Fazendo fatoração:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1)=0.
Portanto as raízes (pontos de interseção) são
x=2\quad\text{e}\quad x=-1.

Passo 3

Precisamos saber qual curva é a superior (maior y) no intervalo entre \;x=-1\; e \;x=2\;. Escolho um ponto de teste simples dentro do intervalo, por exemplo \;x=0\;.
Calculo os valores:
y_{\text{reta}}(0)=0+2=2,
y_{\text{parábola}}(0)=0^{2}=0.á
Como \;2>0\;, a reta \;y=x+2\; está acima da parábola \;y=x^{2}\; para x entre -1 e 2. Logo, a função superior é \;y=x+2\; e a inferior é \;y=x^{2}\;.

Passo 4

Agora montamos a integral que dá a área entre duas curvas. Regra (explicando por que funciona): se em cada abscissa x a distância vertical entre as curvas é \;y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bottom}}(x)\;, somando essas “fatinhas” verticais por integração de x=a até x=b obtemos a área:
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bottom}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui a=-1 e b=2, y_{\text{top}}(x)=x+2 e y_{\text{bottom}}(x)=x^{2}. Então:
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\bigl((x+2)-x^{2}\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Simplifico o integrando:
(x+2)-x^{2} = -x^{2}+x+2.
Portanto a integral fica
\text{Área}=\int_{-1}^{2}\bigl(-x^{2}+x+2\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Agora vamos integrar termo a termo. Lembrete da regra de potências (aula rápida): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
\int -x^{2}\,dx = -\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int 2\,dx = 2x.
Logo uma primitiva (antiderivada) de -x^{2}+x+2 é
F(x) = -\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x.

Passo 7

Agora avaliamos a integral definida com a primitiva F(x):
\text{Área}=F(2)-F(-1).Á
Calculemos F(2):
F(2) = -\frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{2}}{2}+2\cdot 2 = -\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4.
\frac{4}{2}=2,\quad\text{então}\quad F(2) = -\frac{8}{3}+2+4 = -\frac{8}{3}+6.ã
6 = \frac{18}{3}\quad\Rightarrow\quad F(2)=\frac{18}{3}-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}.

Passo 8

Agora F(-1):
F(-1) = -\frac{(-1)^{3}}{3}+\frac{(-1)^{2}}{2}+2\cdot(-1) = -\frac{-1}{3}+\frac{1}{2}-2.
-\frac{-1}{3} = \frac{1}{3},\quad\text{portanto}\quad F(-1)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2.
Colocando em denominador comum 6:
\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 = \frac{2}{6}+\frac{3}{6}-\frac{12}{6} = -\frac{7}{6}.

Passo 9

Subtraindo:
\text{Área}=F(2)-F(-1)=\frac{10}{3}-\bigl(-\tfrac{7}{6}\bigr)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}.Á
Colocando em denominador comum 6:
\frac{10}{3}=\frac{20}{6},\quad\Rightarrow\quad \text{Área}=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}.Á
Simplificando a fração:
\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.

Passo 10

Interpretação final rápida: a área entre as curvas \;y=x+2\; e \;y=x^{2}\; no intervalo onde elas se encontram ( x=-1 a x=2) é \;9/2\; unidades de área. Parabéns — você conseguiu! Se quiser, faço um rascunho da região ou repito com outro ponto de teste para reforçar.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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