A função é f(x,y)=\dfrac{11x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
O ponto ao qual (x,y) se aproxima é (0,0).
Devemos usar a definição de limite (ou seja, um argumento \varepsilon-\delta) para provar que o limite é 0.
Passo 2
Lembrete da definição de limite em \mathbb{R}^{2} (explicação didática):
Dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, tem-se |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Aqui:
\varepsilon>0 é a precisão desejada no valor de f.
\delta>0 é o raio da bola centrada em (0,0) dentro da qual os pontos (x,y) devem cair.
\sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância de (x,y) até a origem.
Nosso objetivo será, dado um \varepsilon>0, escolher um \delta conveniente e mostrar a desigualdade requerida.
Passo 3
Vamos manipular a expressão para obter uma desigualdade em termos da distância r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, porque é isso que aparece na condição 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta.
Concluímos o argumento \varepsilon-\delta formalmente:
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Tomando \delta=\dfrac{\varepsilon}{11}, para todo (x,y) com 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta temos
Comentário didático-final (como aplicar em prova): a técnica usada foi comparar x com a distância ao ponto (0,0) e obter uma estimativa do tipo |f(x,y)|\le C\cdot r. Sempre que conseguir uma desigualdade linear em r (a distância), basta escolher \delta=\varepsilon/C. Esse é um truque bem padrão para limites em \mathbb{R}^{2}.