Usando a definição de limite, mostrar que
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{11 x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{11x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{11x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • O ponto ao qual (x,y) se aproxima é (0,0).
  • Devemos usar a definição de limite (ou seja, um argumento \varepsilon- \delta) para provar que o limite é 0.

Passo 2

Lembrete da definição de limite em \mathbb{R}^{2} (explicação didática):
Dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, tem-se |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Aqui:
  • \varepsilon>0 é a precisão desejada no valor de f.
  • \delta>0 é o raio da bola centrada em (0,0) dentro da qual os pontos (x,y) devem cair.
  • \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância de (x,y) até a origem.
    Nosso objetivo será, dado um \varepsilon>0, escolher um \delta conveniente e mostrar a desigualdade requerida.

Passo 3

Vamos manipular a expressão para obter uma desigualdade em termos da distância r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, porque é isso que aparece na condição 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta.
Observação útil e simples:
|x|=\sqrt{x^{2}}\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.
Isso implica
x^{2}\le r^{2}.
Agora calculemos o valor absoluto da função:
\left|\frac{11x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| = \frac{11x^{2}}{r} \le \frac{11r^{2}}{r}=11r.
Expliquei os passos: substituí x^{2} por algo maior ou igual (ou seja, r^{2}) e simplifiquei.

Passo 4

Usamos a desigualdade obtida para relacionar |f(x,y)| com r. Queremos que |f(x,y)|<\varepsilon. Pela desigualdade,
|f(x,y)| \le 11r.
Portanto, se garantirmos 11r<\varepsilon, teremos |f(x,y)|<\varepsilon.
Escolha natural de \delta: para um dado \varepsilon>0, tome
\delta=\frac{\varepsilon}{11}.
Então, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r<\delta, obtemos
|f(x,y)|\le 11r < 11\delta = 11\cdot\frac{\varepsilon}{11}=\varepsilon.

Passo 5

Concluímos o argumento \varepsilon- \delta formalmente:
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Tomando \delta=\dfrac{\varepsilon}{11}, para todo (x,y) com 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta temos
\left|\frac{11x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-0\right| = \left|\frac{11x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| \le 11\sqrt{x^{2}+y^{2}} < 11\delta = \varepsilon.
Isso satisfaz a definição de limite e, portanto,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{11x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.

Passo 6

Comentário didático-final (como aplicar em prova): a técnica usada foi comparar x com a distância ao ponto (0,0) e obter uma estimativa do tipo |f(x,y)|\le C\cdot r. Sempre que conseguir uma desigualdade linear em r (a distância), basta escolher \delta=\varepsilon/C. Esse é um truque bem padrão para limites em \mathbb{R}^{2}.

Resposta

0

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