Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=2-t
a) Calcule o deslocamento entre os instantes t=1 e t=3. Discuta o resultado obtido.
b) Calcule o espaço percorrido entre os instantes 1 e 3 .

Passo 1

O enunciado dá a velocidade da partícula sobre o eixo x como v(t)=2-t e pede duas coisas:
  1. (a) Calcular o deslocamento entre os instantes t=1 e t=3 e discutir o resultado.
  2. (b) Calcular o espaço (distância) percorrido entre os instantes t=1 e t=3.
Informações relevantes fornecidas:
\;v(t)=2-t para t no intervalo considerado; os instantes de interesse são t=1 e t=3.

Passo 2

Conceito importante — deslocamento: o deslocamento entre t=a e t=b é o deslocamento líquido da partícula, isto é, a variação da sua posição. Matematicamente:
\text{deslocamento}=\int_{a}^{b} v(t)\,dt.
Aqui v(t) é a velocidade (com sinal: positiva para movimento no sentido positivo de x, negativa para o sentido oposto), t é o tempo. Então aplicamos com a=1 e b=3:
\text{deslocamento}=\int_{1}^{3}(2-t)\,dt.
Para calcular a integral, primeiro encontramos uma primitiva (antiderivada) de 2-t. A primitiva de 2 é 2t e a primitiva de -t é -\dfrac{t^{2}}{2}. Logo uma primitiva é
F(t)=2t-\dfrac{t^{2}}{2}.
Agora avaliamos F nos extremos e subtraímos:
\int_{1}^{3}(2-t)\,dt = F(3)-F(1).

Passo 3

Avaliação da primitiva passo a passo:
F(3)=2\cdot 3-\dfrac{3^{2}}{2}=6-\dfrac{9}{2}=6-4{,}5=1{,}5,
F(1)=2\cdot 1-\dfrac{1^{2}}{2}=2-\dfrac{1}{2}=2-0{,}5=1{,}5.
Portanto
\int_{1}^{3}(2-t)\,dt = F(3)-F(1)=1{,}5-1{,}5=0.
Discussão do resultado: o deslocamento é 0. Isso significa que, no intervalo de t=1 até t=3, a partícula terminou no mesmo ponto em que começou — o deslocamento líquido é nulo. Geometricamente, a integral da velocidade é a área algébrica abaixo da curva v(t): as áreas positivas e negativas se cancelaram.

Passo 4

Conceito importante — espaço (distância) percorrido: é a soma dos comprimentos efetivamente percorridos, sem considerar sinal, e matematicamente é
\text{espaço percorrido}=\int_{a}^{b} |v(t)|\,dt.ç
Para calcular isso normalmente precisamos ver onde v(t) muda de sinal, porque aí dividimos o intervalo e usamos v(t) ou -v(t) conforme o sinal.

Passo 5

Encontrar zeros de v(t) para saber onde trocar sinal:
v(t)=2-t=0 \quad\Rightarrow\quad t=2.
Assim em [1,2] temos v(t)>0 (movimento no sentido positivo) e em [2,3] temos v(t)<0 (movimento no sentido negativo). Então
\int_{1}^{3}|v(t)|\,dt = \int_{1}^{2}(2-t)\,dt + \int_{2}^{3}-(2-t)\,dt.

Passo 6

Calcular a primeira integral \int_{1}^{2}(2-t)\,dt usando a mesma primitiva F(t)=2t-\dfrac{t^{2}}{2}:
\int_{1}^{2}(2-t)\,dt = F(2)-F(1).
Avaliação:
F(2)=2\cdot 2-\dfrac{2^{2}}{2}=4-\dfrac{4}{2}=4-2=2,
F(1)=1{,}5\\ (\text{já calculado}).á
Logo
\int_{1}^{2}(2-t)\,dt = 2-1{,}5=0{,}5.

Passo 7

Calcular a segunda integral \int_{2}^{3}-(2-t)\,dt. Primeiro simplificamos a integranda:
-(2-t)=t-2.
Uma primitiva de t-2 é \dfrac{t^{2}}{2}-2t. Então
\int_{2}^{3}(t-2)\,dt = \left(\dfrac{t^{2}}{2}-2t\right)\Big|_{2}^{3}.
Avaliação:
\left(\dfrac{3^{2}}{2}-2\cdot 3\right)-\left(\dfrac{2^{2}}{2}-2\cdot 2\right) = \left(\dfrac{9}{2}-6\right)-\left(\dfrac{4}{2}-4\right) = (4{,}5-6)-(2-4) = -1{,}5 - (-2) = 0{,}5.

Passo 8

Somando as duas partes para obter o espaço total percorrido:
\text{espaço percorrido} = 0{,}5 + 0{,}5 = 1.ç
Interpretação física final: entre t=1 e t=2 a partícula foi 0{,}5 unidades para a direita; entre t=2 e t=3 voltou 0{,}5 unidades para a esquerda. O deslocamento líquido ficou 0, mas a distância total percorrida foi 1.

Resposta

a) 0\n
b) 1

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