Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=2-t
a) Calcule o deslocamento entre os instantes t=1 e t=3. Discuta o resultado obtido.
b) Calcule o espaço percorrido entre os instantes 1 e 3 .
Passo 1
O enunciado dá a velocidade da partícula sobre o eixo x como v(t)=2-t e pede duas coisas:
(a) Calcular o deslocamento entre os instantes t=1 e t=3 e discutir o resultado.
(b) Calcular o espaço (distância) percorrido entre os instantes t=1 e t=3.
Informações relevantes fornecidas: \;v(t)=2-t para t no intervalo considerado; os instantes de interesse são t=1 e t=3.
Passo 2
Conceito importante — deslocamento: o deslocamento entre t=a e t=b é o deslocamento líquido da partícula, isto é, a variação da sua posição. Matematicamente:
\text{deslocamento}=\int_{a}^{b} v(t)\,dt.
Aqui v(t) é a velocidade (com sinal: positiva para movimento no sentido positivo de x, negativa para o sentido oposto), t é o tempo. Então aplicamos com a=1 e b=3:
\text{deslocamento}=\int_{1}^{3}(2-t)\,dt.
Para calcular a integral, primeiro encontramos uma primitiva (antiderivada) de 2-t. A primitiva de 2 é 2t e a primitiva de -t é -\dfrac{t^{2}}{2}. Logo uma primitiva é
Discussão do resultado: o deslocamento é 0. Isso significa que, no intervalo de t=1 até t=3, a partícula terminou no mesmo ponto em que começou — o deslocamento líquido é nulo. Geometricamente, a integral da velocidade é a área algébrica abaixo da curva v(t): as áreas positivas e negativas se cancelaram.
Passo 4
Conceito importante — espaço (distância) percorrido: é a soma dos comprimentos efetivamente percorridos, sem considerar sinal, e matematicamente é
\text{espaço percorrido}=\int_{a}^{b} |v(t)|\,dt.
Para calcular isso normalmente precisamos ver onde v(t) muda de sinal, porque aí dividimos o intervalo e usamos v(t) ou -v(t) conforme o sinal.
Passo 5
Encontrar zeros de v(t) para saber onde trocar sinal:
v(t)=2-t=0 \quad\Rightarrow\quad t=2.
Assim em [1,2] temos v(t)>0 (movimento no sentido positivo) e em [2,3] temos v(t)<0 (movimento no sentido negativo). Então
Somando as duas partes para obter o espaço total percorrido:
\text{espaço percorrido} = 0{,}5 + 0{,}5 = 1.ç
Interpretação física final: entre t=1 e t=2 a partícula foi 0{,}5 unidades para a direita; entre t=2 e t=3 voltou 0{,}5 unidades para a esquerda. O deslocamento líquido ficou 0, mas a distância total percorrida foi 1.