Calcule a área lateral A do cilindro formado pelos segmentos paralelos ao eixo z que se estende da curva suave
, até a superfície
.
Passo 1
O enunciado pede a área lateral
do “cilindro” formado por geratrizes paralelas ao eixo
, que partem da curva suave
e vão até a superfície
O conteúdo aqui é área de uma superfície paramétrica. Vamos parametrizar essa superfície e usar a fórmula
Passo 2
Como as geratrizes são paralelas a
z , podemos tomar parâmetros
(x,z) , com
0<= x<=2 e
0<= z<= x . Definimos
Aqui
x percorre a curva de base e
z vai da base até a superfície
z=x .
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
O produto vetorial é
Assim, o módulo vale
Passo 4
A área é
Passo 5
Para calcular
integral0^2xraiz4x^2+1,dx ,
fazemosu=4x^2+1 ,
du=8x,dx , ou seja
x,dx=du/8 . Quando
x=0 temos
u=1 e quando
x=2 temos
u=17 . Então
fazemos