Calcule a área lateral A do cilindro formado pelos segmentos paralelos ao eixo z que se estende da curva suave y-x^2, 0 <= x <= 2, até a superfície z=x.

Passo 1

O enunciado pede a área lateral A do “cilindro” formado por geratrizes paralelas ao eixo z, que partem da curva suave
y = x^2, 0 <= x <= 2,
e vão até a superfície
z = x
O conteúdo aqui é área de uma superfície paramétrica. Vamos parametrizar essa superfície e usar a fórmula
A = integral duplaD l| rutimes rvr|,dudv

Passo 2

Como as geratrizes são paralelas a z, podemos tomar parâmetros (x,z), com 0<= x<=2 e 0<= z<= x. Definimos
r(x,z) = l(x,;x^2,;zr)
Aqui x percorre a curva de base e z vai da base até a superfície z=x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
rx = l(1,;2x,;0r), rz = l(0,;0,;1r)
O produto vetorial é
rxtimes rz =l(1,2x,0r)timesl(0,0,1r) =l(2x,,-1,,0r)
Assim, o módulo vale
l| rxtimes rzr| =raiz(2x)^2+(-1)^2 =raiz4x^2+1

Passo 4

A área é
A =integralx=0^2integralz=0^xraiz4x^2+1;dz,dx =integral0^2l[raiz4x^2+1;zr]z=0^z=xdx =integral0^2xraiz4x^2+1;dx

Passo 5

Para calcular
integral0^2xraiz4x^2+1,dx,
fazemos u=4x^2+1, du=8x,dx, ou seja x,dx=du/8. Quando x=0 temos u=1 e quando x=2 temos u=17. Então
integral0^2xraiz4x^2+1,dx =18integral1^17u^1/2,du =18cdot23l[u^3/2r]1^17 =112l(17^3/2-1r)

Resposta

A = 17^3/2-112

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