Use coordenadas esféricas para encontrar a integral integral triplaE z d x d y d z, onde E é o sólido definido pelas desigualdades 0 <= raizx^2+y^2 <= z e 0 <= x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
integral triplaE z,dx,dy,dz
no sólido E dado por
0 <= raizx^2+y^2 <= z e 0 <= x^2+y^2+z^2 <= 1
O conteúdo envolvido é mudança para coordenadas esféricas, em que
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi,
com Jacobiano rho^2sinvarphi. Vamos determinar os limites de rho,varphi,theta e calcular a integral.

Passo 2

Traduzimos as desigualdades para esféricas:
x^2+y^2+z^2<=1 ;Longrightarrow; 0<=rho<=1,
raizx^2+y^2<= z ;Longrightarrow; rhosinvarphi<=rhocosvarphi ;Longrightarrow; tanvarphi<=1 ;Longrightarrow; 0<=varphi<=pi4
Como não há restrição em theta, temos 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Em coordenadas esféricas a integral fica
integral triplaE z,dx,dy,dz =integral0^2pi!!integral0^pi/4!!integral0^1 l(rhocosvarphir),l(rho^2sinvarphir), drho,dvarphi,dtheta =integral0^2pidtheta;integral0^pi/4cosvarphisinvarphi,dvarphi;integral0^1rho^3,drho

Passo 4

Calculamos cada fator:
integral0^2pidtheta=2pi,
integral0^1rho^3,drho=14,
integral0^pi/4cosvarphisinvarphi,dvarphi =12integral0^pi/4sin^2varphi',d(sin^2varphi') l|sin^2varphi'=0^sin^2varphi'=1/2 =12cdot12 =14
Multiplicando,
2picdot14cdot14 =pi8

Resposta

pi8

Exercícios relacionados