Encontre o volume V do sólido E no primeiro octante que é enclausurada pelo paraboloide z=16-4 x^2-y^2 e pelo plano xy.

Passo 1

O enunciado pede o volume V do sólido E no primeiro octante (ou seja, x>=0, y>=0, z>=0) limitado acima pelo paraboloide
z = 16 - 4x^2 - y^2
e abaixo pelo plano z=0.
Conteúdo: cálculo de volume por integral dupla (ou tripla reduzida a dupla).

Passo 2

Projectamos E no plano xy. A condição z>=0 vira
16 - 4x^2 - y^2 >= 0 Long<=ftrightarrow 4x^2 + y^2 <= 16
No primeiro quadrante isso define a região
D = l(x,y)mid xin[0,2],;yinl[0,raiz16-4x^2r]r

Passo 3

O volume é
V = integral duplaD l(16 - 4x^2 - y^2r),dA =integralx=0^2 integraly=0^raiz16-4x^2 l(16 - 4x^2 - y^2r),dy,dx

Passo 4

Calcular a integral interna em y:
integral0^raiz16-4x^2 l(16 - 4x^2 - y^2r),dy =(16-4x^2),y|0^raiz16-4x^2 -y^33|0^raiz16-4x^2
=l(16-4x^2r)raiz16-4x^2 -13l(16-4x^2r)^3/2 =23l(16-4x^2r)^3/2

Passo 5

Substituindo volta em V:
V = integral0^223l(16-4x^2r)^3/2,dx
Note que 16-4x^2=4(4-x^2), então
l(16-4x^2r)^3/2 =8,(4-x^2)^3/2,
e
V = 23cdot 8 integral0^2(4-x^2)^3/2,dx =163integral0^2(4-x^2)^3/2,dx

Passo 6

Para integral0^2(4-x^2)^3/2dx use substituição trigonométrica x=2sin t. Um cálculo padrão dá
integral0^2(4-x^2)^3/2dx = 3pi
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V = 163cdot 3pi = 16pi

Resposta

O volume é V = 16pi.

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