Encontre o volume V do sólido E no primeiro octante que é enclausurada pelo paraboloide
e pelo plano xy.
Passo 1
O enunciado pede o volume
do sólido
no primeiro octante (ou seja,
,
,
) limitado acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
.
Conteúdo: cálculo de volume por integral dupla (ou tripla reduzida a dupla).
Conteúdo: cálculo de volume por integral dupla (ou tripla reduzida a dupla).
Passo 2
Projectamos
no plano
. A condição
vira
No primeiro quadrante isso define a região
Passo 3
O volume é
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Passo 5
Substituindo volta em
V :
Note que
16-4x^2=4(4-x^2) , então
e
Passo 6
Para
integral0^2(4-x^2)^3/2dx use substituição trigonométrica
x=2sin t . Um cálculo padrão dá
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Resposta
O volume é
V = 16pi .