Calcule a área lateral do cilindro de raio R e altura h, isto é, x^2+y^2=R^2 e 0 <= z <= h.

Passo 1

O enunciado pede a área lateral de um cilindro de raio R e altura h, ou seja, da superfície dada por
x^2+y^2=R^2, 0<= z<= h
O conteúdo envolvido é integral de superfície: vamos parametrizar essa superfície cilíndrica e usar a fórmula da área via integral dupla |rutimes rv|.

Passo 2

Escolhemos a parametrização
r(theta,z)=l(Rcostheta,;Rsintheta,;zr),
com thetain[0,2pi] e zin[0,h]. Então
rtheta(theta,z)=(-Rsintheta,;Rcostheta,;0), rz(theta,z)=(0,0,1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial e seu módulo:
rthetatimes rz = i&j&k -Rsintheta&Rcostheta&0 0&0&1 =(Rcostheta),i+(Rsintheta),j+0,k,
l|rthetatimes rzr| =raiz(Rcostheta)^2+(Rsintheta)^2 =raizR^2=R

Passo 4

A área lateral A é
A=integral duplasubstack0<=theta<=2pi0<= z<= h l|rthetatimes rzr|,dtheta,dz =integral0^h!!integral0^2piR,dtheta,dz =R,(2pi),h =2pi R h

Resposta

2pi R h

Exercícios relacionados