Calcule a integral de linha
integralC(x+y+z) d s
onde C: x=t, y=t, z=t^2 0 <= t <= 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do escalar
f(x,y,z)=x+y+z
sobre a curva C parametrizada por
x(t)=t, y(t)=t, z(t)=t^2, 0<= t<=2
O conteúdo é “integral de linha de função escalar” e vamos usar a fórmula
integralC f,ds ;=;integralt0^t1 fl(x(t),y(t),z(t)r),llVert r'(t)rrVert,dt

Passo 2

Primeiro calculamos f em termos de t e o vetor velocidade r'(t).
Em C temos
fl(x(t),y(t),z(t)r)=t+t+t^2=2t+t^2,
e
r(t)=(t,t,t^2)Longrightarrow r'(t)=(1,1,2t),
llVert r'(t)rrVert =raiz1^2+1^2+(2t)^2 =raiz2+4t^2

Passo 3

Substituindo na fórmula da integral de linha, obtemos
integralC(x+y+z),ds =integral0^2(2t+t^2),raiz2+4t^2,dt

Passo 4

Para facilitar, separamos em dois integrais
I=integral0^2(2t+t^2)raiz2+4t^2,dt =underbraceintegral0^22traiz2+4t^2,dtI1 +underbraceintegral0^2t^2raiz2+4t^2,dtI2

Passo 5

Calculemos I1 com u=2+4t^2, então du=8t,dt e t,dt=du/8:
I1=integral0^22traizu,du8 =14integralu(0)=2^u(2)=18u^1/2,du =14cdot23l[u^3/2r]2^18 =18^3/2-2^3/26 =26raiz23

Passo 6

Para I2=integral0^2t^2raiz2+4t^2,dt usamos a substituição hiperbólica
t=raiz22sinh u, dt=raiz22cosh u,du,
2+4t^2=2cosh^2u,
o que leva a
I2 =12integralu=0^u=arsinh(2raiz2) sinh^2u,cosh^2u,du =18integral0^U(cosh4u-1),du
=164sinh4u-u16g|0^U ;=;51raiz28-116,arsinh(2raiz2),
onde U=arsinh(2raiz2).

Passo 7

Somando I1 e I2 e usando
arsinh(2raiz2)=ln(2raiz2+3), temos
I =26raiz23+51raiz28-116lnl(2raiz2+3r) =361raiz224-116lnl(3+2raiz2r)

Resposta

integralC(x+y+z),ds =361raiz224 -116lnl(3+2raiz2r)

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