Calcule a integral de linha
onde
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha do escalar
sobre a curva
parametrizada por
O conteúdo é “integral de linha de função escalar” e vamos usar a fórmula
Passo 2
Primeiro calculamos
f em termos de
t e o vetor velocidade
r'(t) .
EmC temos
Em
e
Passo 3
Substituindo na fórmula da integral de linha, obtemos
Passo 4
Para facilitar, separamos em dois integrais
Passo 5
Calculemos
I1 com
u=2+4t^2 , então
du=8t,dt e
t,dt=du/8 :
Passo 6
Para
I2=integral0^2t^2raiz2+4t^2,dt usamos a substituição hiperbólica
o que leva a
onde
U=arsinh(2raiz2) .
Passo 7
Somando
I1 e
I2 e usando
arsinh(2raiz2)=ln(2raiz2+3) , temos