1. Duas esferas de chumbo, uma de raio 2 cm e outra de raio 3 cm , fundem-se formando uma nova esfera. O raio da nova esfera mede, em cm

Passo 1

O enunciado diz que temos duas esferas de chumbo que se fundem formando uma nova esfera. As informações dadas são:
\,r_1 = 2\\ \text{cm} (raio da primeira esfera),
\,r_2 = 3\\ \text{cm} (raio da segunda esfera).
A pergunta é: qual é o raio \,R da nova esfera resultante, em centímetros?

Passo 2

Conceito que usaremos: o volume de uma esfera é dado pela fórmula
V = \frac{4}{3}\pi r^{3},
onde \,V é o volume da esfera, \pi é a constante geométrica (aprox. 3,14159\dots) e \,r é o raio da esfera. Aqui cada símbolo significa:
  • \,V: volume (unidade: \text{cm}^3),
  • \,\pi: número irracional aproximadamente 3{,}14159,
  • \,r: raio da esfera (unidade: \text{cm}).
Explicação intuitiva rápida: o volume mede quanto “espaço” está ocupado pela esfera; a fórmula diz que esse espaço cresce com o cubo do raio.

Passo 3

Calculamos os volumes das duas esferas separadamente usando a fórmula. Para a primeira esfera ( r_1=2\\ \text{cm}):
V_1=\frac{4}{3}\pi r_1^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 2^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 8=\frac{32}{3}\pi.
Para a segunda esfera ( r_2=3\\ \text{cm}):
V_2=\frac{4}{3}\pi r_2^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 27=36\pi.

Passo 4

Quando as duas esferas de mesmo material são fundidas, o volume total da massa permanece igual à soma dos volumes originais (não há perda de material). Portanto o volume da nova esfera V_{\text{nova}} é
V_{\text{nova}} = V_1+V_2 = \frac{32}{3}\pi + 36\pi.
Somando as parcelas (colocando em denominador comum \,3):
\frac{32}{3}\pi + 36\pi = \frac{32}{3}\pi + \frac{108}{3}\pi = \frac{140}{3}\pi.

Passo 5

Agora igualamos esse volume ao volume da nova esfera de raio \,R:
\frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{140}{3}\pi.
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por \pi e por \tfrac{1}{3}: primeiro cancelar \pi, depois multiplicar ambos os lados por \tfrac{3}{4} ou simplesmente dividir por \tfrac{4}{3}:
R^{3} = 35.
Isto significa que \,R é a raiz cúbica de \,35:
R = \sqrt[3]{35}.

Passo 6

Se quisermos um valor numérico aproximado, fazemos uma estimativa: sabemos que 3^{3}=27 e 4^{3}=64, logo \sqrt[3]{35} está entre 3 e 4. Aplicando um método rápido de aproximação (por exemplo uma iteração de Newton) obtemos
R \approx 3{,}271\\ \text{cm}.
Você pode usar \sqrt[3]{35} como resposta exata e \,3{,}271\\ \text{cm} como aproximação útil para a prova.

Resposta

\sqrt[3]{35}\\ \text{cm}\n \approx 3{,}271\\ \text{cm}

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