- Duas esferas de chumbo, uma de raio 2 cm e outra de raio 3 cm , fundem-se formando uma nova esfera. O raio da nova esfera mede, em cm
Passo 1
O enunciado diz que temos duas esferas de chumbo que se fundem formando uma nova esfera. As informações dadas são:
(raio da primeira esfera),
(raio da segunda esfera).
A pergunta é: qual é o raio da nova esfera resultante, em centímetros?
A pergunta é: qual é o raio
Passo 2
Conceito que usaremos: o volume de uma esfera é dado pela fórmula
onde
é o volume da esfera,
é a constante geométrica (aprox.
) e
é o raio da esfera. Aqui cada símbolo significa:
-
: volume (unidade: ), -
: número irracional aproximadamente , -
: raio da esfera (unidade: ).
Explicação intuitiva rápida: o volume mede quanto “espaço” está ocupado pela esfera; a fórmula diz que esse espaço cresce com o cubo do raio.
Passo 3
Calculamos os volumes das duas esferas separadamente usando a fórmula. Para a primeira esfera (
):
Para a segunda esfera (
):
Passo 4
Quando as duas esferas de mesmo material são fundidas, o volume total da massa permanece igual à soma dos volumes originais (não há perda de material). Portanto o volume da nova esfera
é
Somando as parcelas (colocando em denominador comum
):
Passo 5
Agora igualamos esse volume ao volume da nova esfera de raio
:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por
e por
: primeiro cancelar
, depois multiplicar ambos os lados por
ou simplesmente dividir por
:
Isto significa que
é a raiz cúbica de
:
Passo 6
Se quisermos um valor numérico aproximado, fazemos uma estimativa: sabemos que
e
, logo
está entre
e
. Aplicando um método rápido de aproximação (por exemplo uma iteração de Newton) obtemos
Você pode usar
como resposta exata e
como aproximação útil para a prova.