Use uma integral dupla para calcular a área do laço da rosácea
que está no primeiro quadrante.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede para calcular a área do laço da rosácea dada pela equação polar
que está no primeiro quadrante. Vamos usar integrais duplas, especificamente no sistema de coordenadas polares, para resolver isso. Precisamos entender um pouco sobre áreas em coordenadas polares e como configurar a integral corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área
de uma região no sistema polar pode ser calculada pela fórmula:
Aqui,
é a função que descreve a curva, e
e
são os limites do ângulo
que delimitam a região que queremos calcular a área.
Passo 3
No nosso caso, a curva é
. Queremos encontrar a área do laço no primeiro quadrante. Para isso, precisamos determinar os valores de
que correspondem a esse laço no primeiro quadrante.
Passo 4
Vamos analisar a função
. Sabemos que a função seno é positiva quando seu argumento está entre
e
. Então, queremos encontrar os
que fazem
estar nesse intervalo:
Então, os limites de integração para
vão de
a
.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Passo 6
Vamos simplificar o integrando usando uma identidade trigonométrica para
:
Aplicando isso, temos:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos pelo fator
:
Resposta
A área do laço da rosácea
no primeiro quadrante é
.