Use uma integral dupla para calcular a área do laço da rosácea r=sen(3 theta) que está no primeiro quadrante.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede para calcular a área do laço da rosácea dada pela equação polar r = sin(3theta) que está no primeiro quadrante. Vamos usar integrais duplas, especificamente no sistema de coordenadas polares, para resolver isso. Precisamos entender um pouco sobre áreas em coordenadas polares e como configurar a integral corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área A de uma região no sistema polar pode ser calculada pela fórmula:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Aqui, r é a função que descreve a curva, e alpha e beta são os limites do ângulo theta que delimitam a região que queremos calcular a área.

Passo 3

No nosso caso, a curva é r = sin(3theta) . Queremos encontrar a área do laço no primeiro quadrante. Para isso, precisamos determinar os valores de theta que correspondem a esse laço no primeiro quadrante.

Passo 4

Vamos analisar a função r = sin(3theta) . Sabemos que a função seno é positiva quando seu argumento está entre 0 e pi . Então, queremos encontrar os theta que fazem 3theta estar nesse intervalo:
0 <= 3theta <= pi implies 0 <= theta <= pi3
Então, os limites de integração para theta vão de 0 a pi3 .

Passo 5

Agora, substituímos r = sin(3theta) na fórmula da área:
A = 12 integral0^pi3 (sin(3theta))^2 , dtheta

Passo 6

Vamos simplificar o integrando usando uma identidade trigonométrica para sin^2(x) :
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Aplicando isso, temos:
(sin(3theta))^2 = 1 - cos(6theta)2
Substituindo de volta na integral:
A = 12 integral0^pi3 1 - cos(6theta)2 , dtheta = 14 integral0^pi3 (1 - cos(6theta)) , dtheta

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (1 - cos(6theta)) , dtheta = integral 1 , dtheta - integral cos(6theta) , dtheta = theta - sin(6theta)6

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a pi3 :
[ theta - sin(6theta)6 ]0^pi3 = ( pi3 - sin(2pi)6 ) - ( 0 - sin(0)6 ) = pi3 - 0 - 0 = pi3

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelo fator 14 :
A = 14 times pi3 = pi12

Resposta

A área do laço da rosácea r = sin(3theta) no primeiro quadrante é pi12 .

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