Calcule a área limitada pela curva dada em coordenadas polares r=4 cos theta, com 0 <= theta <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área limitada pela curva em coordenadas polares r=4costheta para 0<=theta<=pi. O conteúdo envolve área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula de área em função de r(theta).

Passo 2

Para curvas polares, a área é dada por
A=12integraltheta1^theta2r(theta)^2,dtheta
Aqui substituímos r(theta)=4costheta e os limites 0 a pi.

Passo 3

Substituindo r na fórmula temos
A=12integral0^pi(4costheta)^2,dtheta =12integral0^pi16cos^2theta,dtheta =8integral0^picos^2theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos^2theta usamos a identidade
cos^2theta=1+cos2theta2
Então
integral0^picos^2theta,dtheta=integral0^pi1+cos2theta2,dtheta =12l[theta+sin2theta2r]0^pi =12l(pi-0r) =pi2

Passo 5

Multiplicando pelo fator externo, a área fica
A=8timespi2=4pi

Resposta

4pi

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