Calcule a área limitada pela curva: r^{2}=8 \cos \theta (EXTRA - 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pela curva em coordenadas polares
r^{2}=8\cos\theta
O conteúdo aqui é área em coordenadas polares, e vamos usar a fórmula
A = \tfrac{1}{2}\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}r^{2}\,d\theta.

Passo 2

Identificamos para quais \theta a curva é real: como r^{2}\ge0, precisamos de \cos\theta\ge0. Logo
-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituindo r^{2}=8\cos\theta na fórmula de área, obtemos
A = \tfrac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}8\cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Fatorando constantes e integrando:
A = 4\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta =4\bigl[\sin\theta\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} =4\bigl(1-(-1)\bigr) =8.

Resposta

8

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