Dados três conjuntos A, B, C, encontre uma condição necessária e suficiente para que A \backslash(B \backslash C)=(A \backslash B) \backslash C. Passo 1O enunciado pede uma condição em que A \setminus\bigl(B\setminus C\bigr)\;=\;\bigl(A\setminus B\bigr)\setminus C. Para resolver, vamos usar a definição de diferença de conjuntos e as leis de De Morgan: X\setminus Y = X\cap Y^{c}, (U\cap V)^{c}=U^{c}\cup V^{c}, \quad (U\cup V)^{c}=U^{c}\cap V^{c}. Passo 2Escrevemos cada lado em termos de interseções e complementos. A\setminus\bigl(B\setminus C\bigr) = A \cap \bigl(B\setminus C\bigr)^{c} = A \cap \bigl(B\cap C^{c}\bigr)^{c} = A \cap \bigl(B^{c}\cup C\bigr). e \bigl(A\setminus B\bigr)\setminus C = \bigl(A\cap B^{c}\bigr)\cap C^{c} = A \cap B^{c} \cap C^{c}. Passo 3Comparemos \underbrace{A\cap\bigl(B^{c}\cup C\bigr)}_{LHS} \quad\text{e}\quad \underbrace{A\cap B^{c}\cap C^{c}}_{RHS}. Note que A\cap\bigl(B^{c}\cup C\bigr) =(A\cap B^{c})\;\cup\;(A\cap C), enquanto A\cap B^{c}\cap C^{c} é um subconjunto de (A\cap B^{c}). Para que a união (A\cap B^{c})\cup(A\cap C) seja igual a A\cap B^{c}\cap C^{c}, é preciso que não haja elementos em A\cap C. Ou seja, A\cap C=\emptyset. RespostaA condição necessária e suficiente é A\cap C = \emptyset. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule a área limitada pela curva: r^{2}=8 \cos \theta (EXTRA - 2,0 pontos) Calcule as integrais indicadas abaixo. Faça gráficos e indique, em que a integral representa: \int_{-2}^{2} x^{2} d x Sejam A, B e C três subconjuntos de um conjunto E. Dar uma escritura mais simples dos seguintes conjuntos : (\overline{\mathrm{A} \cup \mathrm{B}}) \cap(\mathrm{C} \cup \overline{\mathrm{A}}). Sejam A, B e C três subconjuntos de um conjunto E. Dar uma escritura mais simples dos seguintes conjuntos : ((A \cup B) \cap(B \cap C)) \cup(A \cup C).