Dados três conjuntos A, B, C, encontre uma condição necessária e suficiente para que A \backslash(B \backslash C)=(A \backslash B) \backslash C.

Passo 1

O enunciado pede uma condição em que
A \setminus\bigl(B\setminus C\bigr)\;=\;\bigl(A\setminus B\bigr)\setminus C.
Para resolver, vamos usar a definição de diferença de conjuntos e as leis de De Morgan:
X\setminus Y = X\cap Y^{c},
(U\cap V)^{c}=U^{c}\cup V^{c}, \quad (U\cup V)^{c}=U^{c}\cap V^{c}.

Passo 2

Escrevemos cada lado em termos de interseções e complementos.
A\setminus\bigl(B\setminus C\bigr) = A \cap \bigl(B\setminus C\bigr)^{c} = A \cap \bigl(B\cap C^{c}\bigr)^{c} = A \cap \bigl(B^{c}\cup C\bigr).
e
\bigl(A\setminus B\bigr)\setminus C = \bigl(A\cap B^{c}\bigr)\cap C^{c} = A \cap B^{c} \cap C^{c}.

Passo 3

Comparemos
\underbrace{A\cap\bigl(B^{c}\cup C\bigr)}_{LHS} \quad\text{e}\quad \underbrace{A\cap B^{c}\cap C^{c}}_{RHS}.
Note que
A\cap\bigl(B^{c}\cup C\bigr) =(A\cap B^{c})\;\cup\;(A\cap C),
enquanto
A\cap B^{c}\cap C^{c}
é um subconjunto de (A\cap B^{c}).
Para que a união (A\cap B^{c})\cup(A\cap C) seja igual a A\cap B^{c}\cap C^{c}, é preciso que não haja elementos em A\cap C. Ou seja,
A\cap C=\emptyset.

Resposta

A condição necessária e suficiente é
A\cap C = \emptyset.

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